Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18089 / 51621
↖ ↑ ↗
← S 71.365845°
W 80.634155°		 ← 195.16 m → S 71.365845°
W 80.628662°		 →
↑
195.14 m
↓
↑
195.14 m
↓
S 71.367599°
W 80.634155°		 ← 195.14 m →
38 083 m²		 S 71.367599°
W 80.628662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276023864746094 y=0.787681579589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276023864746094 × 216)
    floor (0.276023864746094 × 65536)
    floor (18089.5)     		tx = 18089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787681579589844 × 216)
    floor (0.787681579589844 × 65536)
    floor (51621.5)     		ty = 51621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18089 / 51621 ti = "16/18089/51621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18089/51621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18089 ÷ 216
    18089 ÷ 65536     		x = 0.276016235351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51621 ÷ 216
    51621 ÷ 65536     		y = 0.787673950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276016235351562 × 2 - 1) × π
    -0.447967529296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40733150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787673950195312 × 2 - 1) × π
    -0.575347900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80750873707384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40733150} λ = -1.40733150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80750873707384))-π/2
    2×atan(0.164062350559205)-π/2
    2×0.162613683074142-π/2
    0.325227366148284-1.57079632675     		φ = -1.24556896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40733150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.634155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24556896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.365845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18089 KachelY 51621 -1.40733150 -1.24556896 -80.634155 -71.365845
    Oben rechts KachelX + 1 18090 KachelY 51621 -1.40723563 -1.24556896 -80.628662 -71.365845
    Unten links KachelX 18089 KachelY + 1 51622 -1.40733150 -1.24559959 -80.634155 -71.367599
    Unten rechts KachelX + 1 18090 KachelY + 1 51622 -1.40723563 -1.24559959 -80.628662 -71.367599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24556896--1.24559959) × R
    3.06300000001425e-05 × 6371000     		dl = 195.143730000908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24556896--1.24559959) × R
    3.06300000001425e-05 × 6371000     		dr = 195.143730000908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40733150--1.40723563) × cos(-1.24556896) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319524241910052 × 6371000     		do = 195.161499177177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40733150--1.40723563) × cos(-1.24559959) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319495217442913 × 6371000     		du = 195.143771387617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24556896)-sin(-1.24559959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319524241910052-0.319495217442913)×R²
    abs(-1.40723563--1.40733150)×2.90244671391493e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.90244671391493e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.90244671391493e-05×40589641000000     		ar = 38082.8131717407m²