Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18089 / 24141
↖ ↑ ↗
← S 64.534272°
E 18.731690°		 ← 525.24 m → S 64.534272°
E 18.742676°		 →
↑
525.23 m
↓
↑
525.23 m
↓
S 64.538996°
E 18.731690°		 ← 525.15 m →
275 847 m²		 S 64.538996°
E 18.742676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552047729492188 y=0.736740112304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552047729492188 × 215)
    floor (0.552047729492188 × 32768)
    floor (18089.5)     		tx = 18089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736740112304688 × 215)
    floor (0.736740112304688 × 32768)
    floor (24141.5)     		ty = 24141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18089 / 24141 ti = "15/18089/24141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18089/24141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18089 ÷ 215
    18089 ÷ 32768     		x = 0.552032470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24141 ÷ 215
    24141 ÷ 32768     		y = 0.736724853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552032470703125 × 2 - 1) × π
    0.10406494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32692966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736724853515625 × 2 - 1) × π
    -0.47344970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4873861214111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32692966} λ = 0.32692966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4873861214111))-π/2
    2×atan(0.225962522883238)-π/2
    2×0.222230396420882-π/2
    0.444460792841764-1.57079632675     		φ = -1.12633553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32692966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.731690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12633553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.534272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18089 KachelY 24141 0.32692966 -1.12633553 18.731690 -64.534272
    Oben rechts KachelX + 1 18090 KachelY 24141 0.32712140 -1.12633553 18.742676 -64.534272
    Unten links KachelX 18089 KachelY + 1 24142 0.32692966 -1.12641797 18.731690 -64.538996
    Unten rechts KachelX + 1 18090 KachelY + 1 24142 0.32712140 -1.12641797 18.742676 -64.538996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12633553--1.12641797) × R
    8.2440000000128e-05 × 6371000     		dl = 525.225240000815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12633553--1.12641797) × R
    8.2440000000128e-05 × 6371000     		dr = 525.225240000815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32692966-0.32712140) × cos(-1.12633553) × R
    0.000191739999999996 × 0.429971127185069 × 6371000     		do = 525.242211875498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32692966-0.32712140) × cos(-1.12641797) × R
    0.000191739999999996 × 0.429896695376922 × 6371000     		du = 525.151287799268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12633553)-sin(-1.12641797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429971127185069-0.429896695376922)×R²
    abs(0.32712140-0.32692966)×7.44318081468132e-05×R²
    0.000191739999999996×7.44318081468132e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.44318081468132e-05×40589641000000     		ar = 275846.589137709m²