Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18089 / 19684
↖ ↑ ↗
← S 34.052660°
E 18.731690°		 ← 1 012.10 m → S 34.052660°
E 18.742676°		 →
↑
1 012.03 m
↓
↑
1 012.03 m
↓
S 34.061761°
E 18.731690°		 ← 1 012 m →
1 024 228 m²		 S 34.061761°
E 18.742676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552047729492188 y=0.600723266601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552047729492188 × 215)
    floor (0.552047729492188 × 32768)
    floor (18089.5)     		tx = 18089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600723266601562 × 215)
    floor (0.600723266601562 × 32768)
    floor (19684.5)     		ty = 19684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18089 / 19684 ti = "15/18089/19684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18089/19684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18089 ÷ 215
    18089 ÷ 32768     		x = 0.552032470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19684 ÷ 215
    19684 ÷ 32768     		y = 0.6007080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552032470703125 × 2 - 1) × π
    0.10406494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32692966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6007080078125 × 2 - 1) × π
    -0.201416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.632767074984741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32692966} λ = 0.32692966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.632767074984741))-π/2
    2×atan(0.53112011662679)-π/2
    2×0.488232650423302-π/2
    0.976465300846603-1.57079632675     		φ = -0.59433103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32692966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.731690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59433103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.052660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18089 KachelY 19684 0.32692966 -0.59433103 18.731690 -34.052660
    Oben rechts KachelX + 1 18090 KachelY 19684 0.32712140 -0.59433103 18.742676 -34.052660
    Unten links KachelX 18089 KachelY + 1 19685 0.32692966 -0.59448988 18.731690 -34.061761
    Unten rechts KachelX + 1 18090 KachelY + 1 19685 0.32712140 -0.59448988 18.742676 -34.061761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59433103--0.59448988) × R
    0.000158850000000044 × 6371000     		dl = 1012.03335000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59433103--0.59448988) × R
    0.000158850000000044 × 6371000     		dr = 1012.03335000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32692966-0.32712140) × cos(-0.59433103) × R
    0.000191739999999996 × 0.828523277046262 × 6371000     		do = 1012.10376956033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32692966-0.32712140) × cos(-0.59448988) × R
    0.000191739999999996 × 0.828434317801636 × 6371000     		du = 1011.99509912304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59433103)-sin(-0.59448988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.828523277046262-0.828434317801636)×R²
    abs(0.32712140-0.32692966)×8.89592446264853e-05×R²
    0.000191739999999996×8.89592446264853e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.89592446264853e-05×40589641000000     		ar = 1024227.78155703m²