Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18089 / 18969
↖ ↑ ↗
← S 27.303452°
E 18.731690°		 ← 1 085.48 m → S 27.303452°
E 18.742676°		 →
↑
1 085.49 m
↓
↑
1 085.49 m
↓
S 27.313214°
E 18.731690°		 ← 1 085.38 m →
1 178 226 m²		 S 27.313214°
E 18.742676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552047729492188 y=0.578903198242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552047729492188 × 215)
    floor (0.552047729492188 × 32768)
    floor (18089.5)     		tx = 18089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578903198242188 × 215)
    floor (0.578903198242188 × 32768)
    floor (18969.5)     		ty = 18969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18089 / 18969 ti = "15/18089/18969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18089/18969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18089 ÷ 215
    18089 ÷ 32768     		x = 0.552032470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18969 ÷ 215
    18969 ÷ 32768     		y = 0.578887939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552032470703125 × 2 - 1) × π
    0.10406494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32692966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578887939453125 × 2 - 1) × π
    -0.15777587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.495667542071381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32692966} λ = 0.32692966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.495667542071381))-π/2
    2×atan(0.609164128856166)-π/2
    2×0.547130596201866-π/2
    1.09426119240373-1.57079632675     		φ = -0.47653513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32692966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.731690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47653513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.303452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18089 KachelY 18969 0.32692966 -0.47653513 18.731690 -27.303452
    Oben rechts KachelX + 1 18090 KachelY 18969 0.32712140 -0.47653513 18.742676 -27.303452
    Unten links KachelX 18089 KachelY + 1 18970 0.32692966 -0.47670551 18.731690 -27.313214
    Unten rechts KachelX + 1 18090 KachelY + 1 18970 0.32712140 -0.47670551 18.742676 -27.313214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47653513--0.47670551) × R
    0.000170380000000026 × 6371000     		dl = 1085.49098000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47653513--0.47670551) × R
    0.000170380000000026 × 6371000     		dr = 1085.49098000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32692966-0.32712140) × cos(-0.47653513) × R
    0.000191739999999996 × 0.888589600064373 × 6371000     		do = 1085.479320537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32692966-0.32712140) × cos(-0.47670551) × R
    0.000191739999999996 × 0.888511433335083 × 6371000     		du = 1085.38383397245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47653513)-sin(-0.47670551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888589600064373-0.888511433335083)×R²
    abs(0.32712140-0.32692966)×7.81667292893973e-05×R²
    0.000191739999999996×7.81667292893973e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.81667292893973e-05×40589641000000     		ar = 1178226.18936796m²