Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18088 / 19734
↖ ↑ ↗
← S 34.506557°
E 18.720703°		 ← 1 006.71 m → S 34.506557°
E 18.731690°		 →
↑
1 006.62 m
↓
↑
1 006.62 m
↓
S 34.515610°
E 18.720703°		 ← 1 006.60 m →
1 013 313 m²		 S 34.515610°
E 18.731690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552017211914062 y=0.602249145507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552017211914062 × 215)
    floor (0.552017211914062 × 32768)
    floor (18088.5)     		tx = 18088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602249145507812 × 215)
    floor (0.602249145507812 × 32768)
    floor (19734.5)     		ty = 19734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18088 / 19734 ti = "15/18088/19734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18088/19734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18088 ÷ 215
    18088 ÷ 32768     		x = 0.552001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19734 ÷ 215
    19734 ÷ 32768     		y = 0.60223388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552001953125 × 2 - 1) × π
    0.10400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32673791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60223388671875 × 2 - 1) × π
    -0.2044677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.642354454908752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32673791} λ = 0.32673791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.642354454908752))-π/2
    2×atan(0.526052398172248)-π/2
    2×0.48427165011823-π/2
    0.968543300236459-1.57079632675     		φ = -0.60225303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32673791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.720703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60225303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.506557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18088 KachelY 19734 0.32673791 -0.60225303 18.720703 -34.506557
    Oben rechts KachelX + 1 18089 KachelY 19734 0.32692966 -0.60225303 18.731690 -34.506557
    Unten links KachelX 18088 KachelY + 1 19735 0.32673791 -0.60241103 18.720703 -34.515610
    Unten rechts KachelX + 1 18089 KachelY + 1 19735 0.32692966 -0.60241103 18.731690 -34.515610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60225303--0.60241103) × R
    0.000157999999999991 × 6371000     		dl = 1006.61799999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60225303--0.60241103) × R
    0.000157999999999991 × 6371000     		dr = 1006.61799999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32673791-0.32692966) × cos(-0.60225303) × R
    0.000191749999999991 × 0.824061364793716 × 6371000     		do = 1006.70570764052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32673791-0.32692966) × cos(-0.60241103) × R
    0.000191749999999991 × 0.823971847422105 × 6371000     		du = 1006.5963497058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60225303)-sin(-0.60241103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824061364793716-0.823971847422105)×R²
    abs(0.32692966-0.32673791)×8.95173716114472e-05×R²
    0.000191749999999991×8.95173716114472e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.95173716114472e-05×40589641000000     		ar = 1013313.04728858m²