Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18085 / 52301
↖ ↑ ↗
← S 72.523181°
W 80.656128°		 ← 183.43 m → S 72.523181°
W 80.650635°		 →
↑
183.42 m
↓
↑
183.42 m
↓
S 72.524831°
W 80.656128°		 ← 183.41 m →
33 644 m²		 S 72.524831°
W 80.650635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275962829589844 y=0.798057556152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275962829589844 × 216)
    floor (0.275962829589844 × 65536)
    floor (18085.5)     		tx = 18085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798057556152344 × 216)
    floor (0.798057556152344 × 65536)
    floor (52301.5)     		ty = 52301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18085 / 52301 ti = "16/18085/52301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18085/52301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18085 ÷ 216
    18085 ÷ 65536     		x = 0.275955200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52301 ÷ 216
    52301 ÷ 65536     		y = 0.798049926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275955200195312 × 2 - 1) × π
    -0.448089599609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40771499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798049926757812 × 2 - 1) × π
    -0.596099853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.87270292055711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40771499} λ = -1.40771499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87270292055711))-π/2
    2×atan(0.153707640291118)-π/2
    2×0.15251401464977-π/2
    0.305028029299541-1.57079632675     		φ = -1.26576830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40771499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.656128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26576830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.523181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18085 KachelY 52301 -1.40771499 -1.26576830 -80.656128 -72.523181
    Oben rechts KachelX + 1 18086 KachelY 52301 -1.40761912 -1.26576830 -80.650635 -72.523181
    Unten links KachelX 18085 KachelY + 1 52302 -1.40771499 -1.26579709 -80.656128 -72.524831
    Unten rechts KachelX + 1 18086 KachelY + 1 52302 -1.40761912 -1.26579709 -80.650635 -72.524831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26576830--1.26579709) × R
    2.87900000000008e-05 × 6371000     		dl = 183.421090000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26576830--1.26579709) × R
    2.87900000000008e-05 × 6371000     		dr = 183.421090000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40771499--1.40761912) × cos(-1.26576830) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.30031990836422 × 6371000     		do = 183.431727116807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40771499--1.40761912) × cos(-1.26579709) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.300292447228312 × 6371000     		du = 183.414954190844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26576830)-sin(-1.26579709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30031990836422-0.300292447228312)×R²
    abs(-1.40761912--1.40771499)×2.7461135908069e-05×R²
    9.58700000002199e-05×2.7461135908069e-05×6371000²
    9.58700000002199e-05×2.7461135908069e-05×40589641000000     		ar = 33643.7090765844m²