Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18085 / 19673
↖ ↑ ↗
← S 33.952473°
E 18.687744°		 ← 1 013.30 m → S 33.952473°
E 18.698730°		 →
↑
1 013.31 m
↓
↑
1 013.31 m
↓
S 33.961586°
E 18.687744°		 ← 1 013.19 m →
1 026 728 m²		 S 33.961586°
E 18.698730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551925659179688 y=0.600387573242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551925659179688 × 215)
    floor (0.551925659179688 × 32768)
    floor (18085.5)     		tx = 18085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600387573242188 × 215)
    floor (0.600387573242188 × 32768)
    floor (19673.5)     		ty = 19673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18085 / 19673 ti = "15/18085/19673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18085/19673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18085 ÷ 215
    18085 ÷ 32768     		x = 0.551910400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19673 ÷ 215
    19673 ÷ 32768     		y = 0.600372314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551910400390625 × 2 - 1) × π
    0.10382080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32616267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600372314453125 × 2 - 1) × π
    -0.20074462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.630657851401459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32616267} λ = 0.32616267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.630657851401459))-π/2
    2×atan(0.532241549963401)-π/2
    2×0.489106936592917-π/2
    0.978213873185835-1.57079632675     		φ = -0.59258245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32616267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.687744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59258245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.952473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18085 KachelY 19673 0.32616267 -0.59258245 18.687744 -33.952473
    Oben rechts KachelX + 1 18086 KachelY 19673 0.32635441 -0.59258245 18.698730 -33.952473
    Unten links KachelX 18085 KachelY + 1 19674 0.32616267 -0.59274150 18.687744 -33.961586
    Unten rechts KachelX + 1 18086 KachelY + 1 19674 0.32635441 -0.59274150 18.698730 -33.961586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59258245--0.59274150) × R
    0.000159050000000049 × 6371000     		dl = 1013.30755000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59258245--0.59274150) × R
    0.000159050000000049 × 6371000     		dr = 1013.30755000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32616267-0.32635441) × cos(-0.59258245) × R
    0.000191739999999996 × 0.82950113538343 × 6371000     		do = 1013.2982973866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32616267-0.32635441) × cos(-0.59274150) × R
    0.000191739999999996 × 0.829412294667183 × 6371000     		du = 1013.18977174068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59258245)-sin(-0.59274150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82950113538343-0.829412294667183)×R²
    abs(0.32635441-0.32616267)×8.88407162472626e-05×R²
    0.000191739999999996×8.88407162472626e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.88407162472626e-05×40589641000000     		ar = 1026727.83238077m²