Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18084 / 19684
↖ ↑ ↗
← S 34.052660°
E 18.676758°		 ← 1 012.16 m → S 34.052660°
E 18.687744°		 →
↑
1 012.03 m
↓
↑
1 012.03 m
↓
S 34.061761°
E 18.676758°		 ← 1 012.05 m →
1 024 281 m²		 S 34.061761°
E 18.687744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551895141601562 y=0.600723266601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551895141601562 × 215)
    floor (0.551895141601562 × 32768)
    floor (18084.5)     		tx = 18084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600723266601562 × 215)
    floor (0.600723266601562 × 32768)
    floor (19684.5)     		ty = 19684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18084 / 19684 ti = "15/18084/19684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18084/19684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18084 ÷ 215
    18084 ÷ 32768     		x = 0.5518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19684 ÷ 215
    19684 ÷ 32768     		y = 0.6007080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5518798828125 × 2 - 1) × π
    0.103759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32597092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6007080078125 × 2 - 1) × π
    -0.201416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.632767074984741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32597092} λ = 0.32597092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.632767074984741))-π/2
    2×atan(0.53112011662679)-π/2
    2×0.488232650423302-π/2
    0.976465300846603-1.57079632675     		φ = -0.59433103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32597092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.676758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59433103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.052660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18084 KachelY 19684 0.32597092 -0.59433103 18.676758 -34.052660
    Oben rechts KachelX + 1 18085 KachelY 19684 0.32616267 -0.59433103 18.687744 -34.052660
    Unten links KachelX 18084 KachelY + 1 19685 0.32597092 -0.59448988 18.676758 -34.061761
    Unten rechts KachelX + 1 18085 KachelY + 1 19685 0.32616267 -0.59448988 18.687744 -34.061761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59433103--0.59448988) × R
    0.000158850000000044 × 6371000     		dl = 1012.03335000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59433103--0.59448988) × R
    0.000158850000000044 × 6371000     		dr = 1012.03335000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32597092-0.32616267) × cos(-0.59433103) × R
    0.000191749999999991 × 0.828523277046262 × 6371000     		do = 1012.15655477829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32597092-0.32616267) × cos(-0.59448988) × R
    0.000191749999999991 × 0.828434317801636 × 6371000     		du = 1012.0478786734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59433103)-sin(-0.59448988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.828523277046262-0.828434317801636)×R²
    abs(0.32616267-0.32597092)×8.89592446264853e-05×R²
    0.000191749999999991×8.89592446264853e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.89592446264853e-05×40589641000000     		ar = 1024281.19909021m²