Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18082 / 19678
↖ ↑ ↗
← S 33.998027°
E 18.654785°		 ← 1 012.81 m → S 33.998027°
E 18.665771°		 →
↑
1 012.80 m
↓
↑
1 012.80 m
↓
S 34.007135°
E 18.654785°		 ← 1 012.70 m →
1 025 715 m²		 S 34.007135°
E 18.665771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551834106445312 y=0.600540161132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551834106445312 × 215)
    floor (0.551834106445312 × 32768)
    floor (18082.5)     		tx = 18082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600540161132812 × 215)
    floor (0.600540161132812 × 32768)
    floor (19678.5)     		ty = 19678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18082 / 19678 ti = "15/18082/19678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18082/19678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18082 ÷ 215
    18082 ÷ 32768     		x = 0.55181884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19678 ÷ 215
    19678 ÷ 32768     		y = 0.60052490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55181884765625 × 2 - 1) × π
    0.1036376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32558742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60052490234375 × 2 - 1) × π
    -0.2010498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.63161658939386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32558742} λ = 0.32558742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.63161658939386))-π/2
    2×atan(0.531731514302667)-π/2
    2×0.488709405949542-π/2
    0.977418811899084-1.57079632675     		φ = -0.59337751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32558742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.654785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59337751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.998027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18082 KachelY 19678 0.32558742 -0.59337751 18.654785 -33.998027
    Oben rechts KachelX + 1 18083 KachelY 19678 0.32577917 -0.59337751 18.665771 -33.998027
    Unten links KachelX 18082 KachelY + 1 19679 0.32558742 -0.59353648 18.654785 -34.007135
    Unten rechts KachelX + 1 18083 KachelY + 1 19679 0.32577917 -0.59353648 18.665771 -34.007135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59337751--0.59353648) × R
    0.000158969999999981 × 6371000     		dl = 1012.79786999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59337751--0.59353648) × R
    0.000158969999999981 × 6371000     		dr = 1012.79786999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32558742-0.32577917) × cos(-0.59337751) × R
    0.000191749999999991 × 0.829056828250299 × 6371000     		do = 1012.80836187102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32558742-0.32577917) × cos(-0.59353648) × R
    0.000191749999999991 × 0.828967927417473 × 6371000     		du = 1012.69975712429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59337751)-sin(-0.59353648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829056828250299-0.828967927417473)×R²
    abs(0.32577917-0.32558742)×8.89008328258667e-05×R²
    0.000191749999999991×8.89008328258667e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.89008328258667e-05×40589641000000     		ar = 1025715.1564529m²