Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18081 / 19700
↖ ↑ ↗
← S 34.198173°
E 18.643799°		 ← 1 010.42 m → S 34.198173°
E 18.654785°		 →
↑
1 010.31 m
↓
↑
1 010.31 m
↓
S 34.207259°
E 18.643799°		 ← 1 010.31 m →
1 020 782 m²		 S 34.207259°
E 18.654785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551803588867188 y=0.601211547851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551803588867188 × 215)
    floor (0.551803588867188 × 32768)
    floor (18081.5)     		tx = 18081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601211547851562 × 215)
    floor (0.601211547851562 × 32768)
    floor (19700.5)     		ty = 19700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18081 / 19700 ti = "15/18081/19700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18081/19700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18081 ÷ 215
    18081 ÷ 32768     		x = 0.551788330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19700 ÷ 215
    19700 ÷ 32768     		y = 0.6011962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551788330078125 × 2 - 1) × π
    0.10357666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32539567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6011962890625 × 2 - 1) × π
    -0.202392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.635835036560425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32539567} λ = 0.32539567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.635835036560425))-π/2
    2×atan(0.529493157517054)-π/2
    2×0.486962804056473-π/2
    0.973925608112946-1.57079632675     		φ = -0.59687072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32539567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.643799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59687072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.198173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18081 KachelY 19700 0.32539567 -0.59687072 18.643799 -34.198173
    Oben rechts KachelX + 1 18082 KachelY 19700 0.32558742 -0.59687072 18.654785 -34.198173
    Unten links KachelX 18081 KachelY + 1 19701 0.32539567 -0.59702930 18.643799 -34.207259
    Unten rechts KachelX + 1 18082 KachelY + 1 19701 0.32558742 -0.59702930 18.654785 -34.207259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59687072--0.59702930) × R
    0.000158580000000019 × 6371000     		dl = 1010.31318000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59687072--0.59702930) × R
    0.000158580000000019 × 6371000     		dr = 1010.31318000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32539567-0.32558742) × cos(-0.59687072) × R
    0.000191749999999991 × 0.827098495422906 × 6371000     		do = 1010.41598562452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32539567-0.32558742) × cos(-0.59702930) × R
    0.000191749999999991 × 0.827009354023367 × 6371000     		du = 1010.30708699204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59687072)-sin(-0.59702930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.827098495422906-0.827009354023367)×R²
    abs(0.32558742-0.32539567)×8.91413995391943e-05×R²
    0.000191749999999991×8.91413995391943e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.91413995391943e-05×40589641000000     		ar = 1020781.57883641m²