Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 18080 / 7458
↖ ↑ ↗
← N 82.928840°
W130.341797°		 ← 37.60 m → N 82.928840°
W130.339050°		 →
↑
37.59 m
↓
↑
37.59 m
↓
N 82.928502°
W130.341797°		 ← 37.60 m →
1 413 m²		 N 82.928502°
W130.339050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137943267822266 y=0.0569038391113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137943267822266 × 217)
    floor (0.137943267822266 × 131072)
    floor (18080.5)     		tx = 18080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0569038391113281 × 217)
    floor (0.0569038391113281 × 131072)
    floor (7458.5)     		ty = 7458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18080 / 7458 ti = "17/18080/7458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18080/7458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18080 ÷ 217
    18080 ÷ 131072     		x = 0.137939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7458 ÷ 217
    7458 ÷ 131072     		y = 0.0569000244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137939453125 × 2 - 1) × π
    -0.72412109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27489351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0569000244140625 × 2 - 1) × π
    0.886199951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.78407925613362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27489351} λ = -2.27489351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.78407925613362))-π/2
    2×atan(16.184908858563)-π/2
    2×1.50908881801698-π/2
    3.01817763603396-1.57079632675     		φ = 1.44738131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27489351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.341797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44738131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.928840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18080 KachelY 7458 -2.27489351 1.44738131 -130.341797 82.928840
    Oben rechts KachelX + 1 18081 KachelY 7458 -2.27484557 1.44738131 -130.339050 82.928840
    Unten links KachelX 18080 KachelY + 1 7459 -2.27489351 1.44737541 -130.341797 82.928502
    Unten rechts KachelX + 1 18081 KachelY + 1 7459 -2.27484557 1.44737541 -130.339050 82.928502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44738131-1.44737541) × R
    5.8999999998921e-06 × 6371000     		dl = 37.5888999993126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44738131-1.44737541) × R
    5.8999999998921e-06 × 6371000     		dr = 37.5888999993126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27489351--2.27484557) × cos(1.44738131) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.123101960802834 × 6371000     		do = 37.598507473632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27489351--2.27484557) × cos(1.44737541) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.123107815925458 × 6371000     		du = 37.6002957787921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44738131)-sin(1.44737541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.123101960802834-0.123107815925458)×R²
    abs(-2.27484557--2.27489351)×5.8551226237713e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.8551226237713e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.8551226237713e-06×40589641000000     		ar = 1413.32014789593m²