Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18080 / 23667
↖ ↑ ↗
← S 62.201389°
E 18.632813°		 ← 569.70 m → S 62.201389°
E 18.643799°		 →
↑
569.69 m
↓
↑
569.69 m
↓
S 62.206512°
E 18.632813°		 ← 569.60 m →
324 528 m²		 S 62.206512°
E 18.643799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551773071289062 y=0.722274780273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551773071289062 × 215)
    floor (0.551773071289062 × 32768)
    floor (18080.5)     		tx = 18080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722274780273438 × 215)
    floor (0.722274780273438 × 32768)
    floor (23667.5)     		ty = 23667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18080 / 23667 ti = "15/18080/23667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18080/23667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18080 ÷ 215
    18080 ÷ 32768     		x = 0.5517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23667 ÷ 215
    23667 ÷ 32768     		y = 0.722259521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5517578125 × 2 - 1) × π
    0.103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32520393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722259521484375 × 2 - 1) × π
    -0.44451904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39649775973148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32520393} λ = 0.32520393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39649775973148))-π/2
    2×atan(0.247462119866467)-π/2
    2×0.242588647414292-π/2
    0.485177294828584-1.57079632675     		φ = -1.08561903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32520393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.632813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08561903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.201389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18080 KachelY 23667 0.32520393 -1.08561903 18.632813 -62.201389
    Oben rechts KachelX + 1 18081 KachelY 23667 0.32539567 -1.08561903 18.643799 -62.201389
    Unten links KachelX 18080 KachelY + 1 23668 0.32520393 -1.08570845 18.632813 -62.206512
    Unten rechts KachelX + 1 18081 KachelY + 1 23668 0.32539567 -1.08570845 18.643799 -62.206512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08561903--1.08570845) × R
    8.94200000001177e-05 × 6371000     		dl = 569.69482000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08561903--1.08570845) × R
    8.94200000001177e-05 × 6371000     		dr = 569.69482000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32520393-0.32539567) × cos(-1.08561903) × R
    0.000191740000000051 × 0.466365202153421 × 6371000     		do = 569.700323657927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32520393-0.32539567) × cos(-1.08570845) × R
    0.000191740000000051 × 0.466286100047518 × 6371000     		du = 569.603694460193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08561903)-sin(-1.08570845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466365202153421-0.466286100047518)×R²
    abs(0.32539567-0.32520393)×7.91021059028396e-05×R²
    0.000191740000000051×7.91021059028396e-05×6371000²
    0.000191740000000051×7.91021059028396e-05×40589641000000     		ar = 324527.798980248m²