Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 18076 / 7348
↖ ↑ ↗
← N 82.965935°
W130.352783°		 ← 37.40 m → N 82.965935°
W130.350037°		 →
↑
37.40 m
↓
↑
37.40 m
↓
N 82.965599°
W130.352783°		 ← 37.40 m →
1 399 m²		 N 82.965599°
W130.350037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137912750244141 y=0.0560646057128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137912750244141 × 217)
    floor (0.137912750244141 × 131072)
    floor (18076.5)     		tx = 18076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0560646057128906 × 217)
    floor (0.0560646057128906 × 131072)
    floor (7348.5)     		ty = 7348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18076 / 7348 ti = "17/18076/7348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18076/7348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18076 ÷ 217
    18076 ÷ 131072     		x = 0.137908935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7348 ÷ 217
    7348 ÷ 131072     		y = 0.056060791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137908935546875 × 2 - 1) × π
    -0.72418212890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27508526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.056060791015625 × 2 - 1) × π
    0.88787841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.78935231509183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27508526} λ = -2.27508526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.78935231509183))-π/2
    2×atan(16.2704782451452)-π/2
    2×1.50941253221568-π/2
    3.01882506443137-1.57079632675     		φ = 1.44802874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27508526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.352783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44802874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.965935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18076 KachelY 7348 -2.27508526 1.44802874 -130.352783 82.965935
    Oben rechts KachelX + 1 18077 KachelY 7348 -2.27503732 1.44802874 -130.350037 82.965935
    Unten links KachelX 18076 KachelY + 1 7349 -2.27508526 1.44802287 -130.352783 82.965599
    Unten rechts KachelX + 1 18077 KachelY + 1 7349 -2.27503732 1.44802287 -130.350037 82.965599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44802874-1.44802287) × R
    5.87000000007443e-06 × 6371000     		dl = 37.3977700004742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44802874-1.44802287) × R
    5.87000000007443e-06 × 6371000     		dr = 37.3977700004742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27508526--2.27503732) × cos(1.44802874) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.122459429381977 × 6371000     		do = 37.4022618389434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27508526--2.27503732) × cos(1.44802287) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.12246525519943 × 6371000     		du = 37.4040411935503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44802874)-sin(1.44802287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.122459429381977-0.12246525519943)×R²
    abs(-2.27503732--2.27508526)×5.82581745341149e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.82581745341149e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.82581745341149e-06×40589641000000     		ar = 1398.79445769702m²