Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18074 / 52640
↖ ↑ ↗
← S 73.073844°
W 80.716553°		 ← 177.84 m → S 73.073844°
W 80.711059°		 →
↑
177.81 m
↓
↑
177.81 m
↓
S 73.075443°
W 80.716553°		 ← 177.83 m →
31 622 m²		 S 73.075443°
W 80.711059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275794982910156 y=0.803230285644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275794982910156 × 216)
    floor (0.275794982910156 × 65536)
    floor (18074.5)     		tx = 18074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803230285644531 × 216)
    floor (0.803230285644531 × 65536)
    floor (52640.5)     		ty = 52640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18074 / 52640 ti = "16/18074/52640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18074/52640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18074 ÷ 216
    18074 ÷ 65536     		x = 0.275787353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52640 ÷ 216
    52640 ÷ 65536     		y = 0.80322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275787353515625 × 2 - 1) × π
    -0.44842529296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40876961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80322265625 × 2 - 1) × π
    -0.6064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90520413849951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40876961} λ = -1.40876961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90520413849951))-π/2
    2×atan(0.148792265291879)-π/2
    2×0.147708580212889-π/2
    0.295417160425777-1.57079632675     		φ = -1.27537917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40876961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.716553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27537917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.073844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18074 KachelY 52640 -1.40876961 -1.27537917 -80.716553 -73.073844
    Oben rechts KachelX + 1 18075 KachelY 52640 -1.40867373 -1.27537917 -80.711059 -73.073844
    Unten links KachelX 18074 KachelY + 1 52641 -1.40876961 -1.27540708 -80.716553 -73.075443
    Unten rechts KachelX + 1 18075 KachelY + 1 52641 -1.40867373 -1.27540708 -80.711059 -73.075443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27537917--1.27540708) × R
    2.79100000000199e-05 × 6371000     		dl = 177.814610000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27537917--1.27540708) × R
    2.79100000000199e-05 × 6371000     		dr = 177.814610000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40876961--1.40867373) × cos(-1.27537917) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.291138961329864 × 6371000     		do = 177.842665413893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40876961--1.40867373) × cos(-1.27540708) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.291112260256044 × 6371000     		du = 177.826355023433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27537917)-sin(-1.27540708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291138961329864-0.291112260256044)×R²
    abs(-1.40867373--1.40876961)×2.67010738199125e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.67010738199125e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.67010738199125e-05×40589641000000     		ar = 31621.5740810786m²