Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18073 / 19315
↖ ↑ ↗
← S 30.628459°
E 18.555908°		 ← 1 051.21 m → S 30.628459°
E 18.566894°		 →
↑
1 051.15 m
↓
↑
1 051.15 m
↓
S 30.637912°
E 18.555908°		 ← 1 051.10 m →
1 104 924 m²		 S 30.637912°
E 18.566894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551559448242188 y=0.589462280273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551559448242188 × 215)
    floor (0.551559448242188 × 32768)
    floor (18073.5)     		tx = 18073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589462280273438 × 215)
    floor (0.589462280273438 × 32768)
    floor (19315.5)     		ty = 19315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18073 / 19315 ti = "15/18073/19315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18073/19315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18073 ÷ 215
    18073 ÷ 32768     		x = 0.551544189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19315 ÷ 215
    19315 ÷ 32768     		y = 0.589447021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551544189453125 × 2 - 1) × π
    0.10308837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32386169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.17889404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.562012211145538
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32386169} λ = 0.32386169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.562012211145538))-π/2
    2×atan(0.570060826239797)-π/2
    2×0.518114437316295-π/2
    1.03622887463259-1.57079632675     		φ = -0.53456745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32386169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.555908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53456745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.628459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18073 KachelY 19315 0.32386169 -0.53456745 18.555908 -30.628459
    Oben rechts KachelX + 1 18074 KachelY 19315 0.32405344 -0.53456745 18.566894 -30.628459
    Unten links KachelX 18073 KachelY + 1 19316 0.32386169 -0.53473244 18.555908 -30.637912
    Unten rechts KachelX + 1 18074 KachelY + 1 19316 0.32405344 -0.53473244 18.566894 -30.637912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53456745--0.53473244) × R
    0.00016498999999992 × 6371000     		dl = 1051.15128999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53456745--0.53473244) × R
    0.00016498999999992 × 6371000     		dr = 1051.15128999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32386169-0.32405344) × cos(-0.53456745) × R
    0.000191750000000046 × 0.860489080531569 × 6371000     		do = 1051.20723497403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32386169-0.32405344) × cos(-0.53473244) × R
    0.000191750000000046 × 0.86040501154903 × 6371000     		du = 1051.10453300525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53456745)-sin(-0.53473244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860489080531569-0.86040501154903)×R²
    abs(0.32405344-0.32386169)×8.40689825380991e-05×R²
    0.000191750000000046×8.40689825380991e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.40689825380991e-05×40589641000000     		ar = 1104923.86595233m²