Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18071 / 23991
↖ ↑ ↗
← S 63.816440°
E 18.533936°		 ← 539.05 m → S 63.816440°
E 18.544922°		 →
↑
538.99 m
↓
↑
538.99 m
↓
S 63.821288°
E 18.533936°		 ← 538.95 m →
290 514 m²		 S 63.821288°
E 18.544922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551498413085938 y=0.732162475585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551498413085938 × 215)
    floor (0.551498413085938 × 32768)
    floor (18071.5)     		tx = 18071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732162475585938 × 215)
    floor (0.732162475585938 × 32768)
    floor (23991.5)     		ty = 23991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18071 / 23991 ti = "15/18071/23991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18071/23991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18071 ÷ 215
    18071 ÷ 32768     		x = 0.551483154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23991 ÷ 215
    23991 ÷ 32768     		y = 0.732147216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551483154296875 × 2 - 1) × π
    0.10296630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32347820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732147216796875 × 2 - 1) × π
    -0.46429443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45862398163907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32347820} λ = 0.32347820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45862398163907))-π/2
    2×atan(0.232556056069902)-π/2
    2×0.22849466272515-π/2
    0.456989325450301-1.57079632675     		φ = -1.11380700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32347820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.533936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11380700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.816440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18071 KachelY 23991 0.32347820 -1.11380700 18.533936 -63.816440
    Oben rechts KachelX + 1 18072 KachelY 23991 0.32366995 -1.11380700 18.544922 -63.816440
    Unten links KachelX 18071 KachelY + 1 23992 0.32347820 -1.11389160 18.533936 -63.821288
    Unten rechts KachelX + 1 18072 KachelY + 1 23992 0.32366995 -1.11389160 18.544922 -63.821288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11380700--1.11389160) × R
    8.46000000001013e-05 × 6371000     		dl = 538.986600000645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11380700--1.11389160) × R
    8.46000000001013e-05 × 6371000     		dr = 538.986600000645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32347820-0.32366995) × cos(-1.11380700) × R
    0.000191749999999991 × 0.441248377790982 × 6371000     		do = 539.046337308266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32347820-0.32366995) × cos(-1.11389160) × R
    0.000191749999999991 × 0.441172457439575 × 6371000     		du = 538.953590027113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11380700)-sin(-1.11389160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441248377790982-0.441172457439575)×R²
    abs(0.32366995-0.32347820)×7.59203514073548e-05×R²
    0.000191749999999991×7.59203514073548e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.59203514073548e-05×40589641000000     		ar = 290513.757991042m²