Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18070 / 23990
↖ ↑ ↗
← S 63.811592°
E 18.522949°		 ← 539.14 m → S 63.811592°
E 18.533936°		 →
↑
539.05 m
↓
↑
539.05 m
↓
S 63.816440°
E 18.522949°		 ← 539.05 m →
290 598 m²		 S 63.816440°
E 18.533936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551467895507812 y=0.732131958007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551467895507812 × 215)
    floor (0.551467895507812 × 32768)
    floor (18070.5)     		tx = 18070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732131958007812 × 215)
    floor (0.732131958007812 × 32768)
    floor (23990.5)     		ty = 23990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18070 / 23990 ti = "15/18070/23990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18070/23990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18070 ÷ 215
    18070 ÷ 32768     		x = 0.55145263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23990 ÷ 215
    23990 ÷ 32768     		y = 0.73211669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55145263671875 × 2 - 1) × π
    0.1029052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32328645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73211669921875 × 2 - 1) × π
    -0.4642333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45843223404059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32328645} λ = 0.32328645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45843223404059))-π/2
    2×atan(0.23260065241065)-π/2
    2×0.228536970523249-π/2
    0.457073941046497-1.57079632675     		φ = -1.11372239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32328645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.522949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11372239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.811592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18070 KachelY 23990 0.32328645 -1.11372239 18.522949 -63.811592
    Oben rechts KachelX + 1 18071 KachelY 23990 0.32347820 -1.11372239 18.533936 -63.811592
    Unten links KachelX 18070 KachelY + 1 23991 0.32328645 -1.11380700 18.522949 -63.816440
    Unten rechts KachelX + 1 18071 KachelY + 1 23991 0.32347820 -1.11380700 18.533936 -63.816440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11372239--1.11380700) × R
    8.46100000000405e-05 × 6371000     		dl = 539.050310000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11372239--1.11380700) × R
    8.46100000000405e-05 × 6371000     		dr = 539.050310000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32328645-0.32347820) × cos(-1.11372239) × R
    0.000191749999999991 × 0.441324303957781 × 6371000     		do = 539.139091693729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32328645-0.32347820) × cos(-1.11380700) × R
    0.000191749999999991 × 0.441248377790982 × 6371000     		du = 539.046337308266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11372239)-sin(-1.11380700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441324303957781-0.441248377790982)×R²
    abs(0.32347820-0.32328645)×7.59261667988564e-05×R²
    0.000191749999999991×7.59261667988564e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.59261667988564e-05×40589641000000     		ar = 290598.095044109m²