Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1807 / 1790
↖ ↑ ↗
← N 70.641769°
W100.590820°		 ← 1 619.74 m → N 70.641769°
W100.546875°		 →
↑
1 620.34 m
↓
↑
1 620.34 m
↓
N 70.627196°
W100.590820°		 ← 1 620.92 m →
2 625 478 m²		 N 70.627196°
W100.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22064208984375 y=0.21856689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22064208984375 × 213)
    floor (0.22064208984375 × 8192)
    floor (1807.5)     		tx = 1807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21856689453125 × 213)
    floor (0.21856689453125 × 8192)
    floor (1790.5)     		ty = 1790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1807 / 1790 ti = "13/1807/1790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1807/1790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1807 ÷ 213
    1807 ÷ 8192     		x = 0.2205810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1790 ÷ 213
    1790 ÷ 8192     		y = 0.218505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2205810546875 × 2 - 1) × π
    -0.558837890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.75564101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218505859375 × 2 - 1) × π
    0.56298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76867984838159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75564101} λ = -1.75564101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76867984838159))-π/2
    2×atan(5.86310805842813)-π/2
    2×1.40186389032552-π/2
    2.80372778065105-1.57079632675     		φ = 1.23293145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75564101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.590820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23293145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.641769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1807 KachelY 1790 -1.75564101 1.23293145 -100.590820 70.641769
    Oben rechts KachelX + 1 1808 KachelY 1790 -1.75487402 1.23293145 -100.546875 70.641769
    Unten links KachelX 1807 KachelY + 1 1791 -1.75564101 1.23267712 -100.590820 70.627196
    Unten rechts KachelX + 1 1808 KachelY + 1 1791 -1.75487402 1.23267712 -100.546875 70.627196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23293145-1.23267712) × R
    0.000254329999999969 × 6371000     		dl = 1620.3364299998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23293145-1.23267712) × R
    0.000254329999999969 × 6371000     		dr = 1620.3364299998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75564101--1.75487402) × cos(1.23293145) × R
    0.000766990000000023 × 0.331473436165073 × 6371000     		do = 1619.74272163392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75564101--1.75487402) × cos(1.23267712) × R
    0.000766990000000023 × 0.331713376781556 × 6371000     		du = 1620.91518984636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23293145)-sin(1.23267712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331473436165073-0.331713376781556)×R²
    abs(-1.75487402--1.75564101)×0.00023994061648297×R²
    0.000766990000000023×0.00023994061648297×6371000²
    0.000766990000000023×0.00023994061648297×40589641000000     		ar = 2625478.04972283m²