Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18069 / 19321
↖ ↑ ↗
← S 30.685164°
E 18.511963°		 ← 1 050.59 m → S 30.685164°
E 18.522949°		 →
↑
1 050.51 m
↓
↑
1 050.51 m
↓
S 30.694611°
E 18.511963°		 ← 1 050.49 m →
1 103 606 m²		 S 30.694611°
E 18.522949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551437377929688 y=0.589645385742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551437377929688 × 215)
    floor (0.551437377929688 × 32768)
    floor (18069.5)     		tx = 18069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589645385742188 × 215)
    floor (0.589645385742188 × 32768)
    floor (19321.5)     		ty = 19321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18069 / 19321 ti = "15/18069/19321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18069/19321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18069 ÷ 215
    18069 ÷ 32768     		x = 0.551422119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19321 ÷ 215
    19321 ÷ 32768     		y = 0.589630126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551422119140625 × 2 - 1) × π
    0.10284423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32309470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589630126953125 × 2 - 1) × π
    -0.17926025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.56316269673642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32309470} λ = 0.32309470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.56316269673642))-π/2
    2×atan(0.569405356599769)-π/2
    2×0.517619592291176-π/2
    1.03523918458235-1.57079632675     		φ = -0.53555714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32309470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.511963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53555714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.685164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18069 KachelY 19321 0.32309470 -0.53555714 18.511963 -30.685164
    Oben rechts KachelX + 1 18070 KachelY 19321 0.32328645 -0.53555714 18.522949 -30.685164
    Unten links KachelX 18069 KachelY + 1 19322 0.32309470 -0.53572203 18.511963 -30.694611
    Unten rechts KachelX + 1 18070 KachelY + 1 19322 0.32328645 -0.53572203 18.522949 -30.694611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53555714--0.53572203) × R
    0.000164889999999973 × 6371000     		dl = 1050.51418999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53555714--0.53572203) × R
    0.000164889999999973 × 6371000     		dr = 1050.51418999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32309470-0.32328645) × cos(-0.53555714) × R
    0.000191749999999991 × 0.859984442936914 × 6371000     		do = 1050.59074988107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32309470-0.32328645) × cos(-0.53572203) × R
    0.000191749999999991 × 0.859900284540282 × 6371000     		du = 1050.48793868052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53555714)-sin(-0.53572203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859984442936914-0.859900284540282)×R²
    abs(0.32328645-0.32309470)×8.41583966317838e-05×R²
    0.000191749999999991×8.41583966317838e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.41583966317838e-05×40589641000000     		ar = 1103606.49082112m²