Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18068 / 52564
↖ ↑ ↗
← S 72.951874°
W 80.749512°		 ← 179.07 m → S 72.951874°
W 80.744019°		 →
↑
179.09 m
↓
↑
179.09 m
↓
S 72.953485°
W 80.749512°		 ← 179.05 m →
32 068 m²		 S 72.953485°
W 80.744019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275703430175781 y=0.802070617675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275703430175781 × 216)
    floor (0.275703430175781 × 65536)
    floor (18068.5)     		tx = 18068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802070617675781 × 216)
    floor (0.802070617675781 × 65536)
    floor (52564.5)     		ty = 52564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18068 / 52564 ti = "16/18068/52564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18068/52564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18068 ÷ 216
    18068 ÷ 65536     		x = 0.27569580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52564 ÷ 216
    52564 ÷ 65536     		y = 0.80206298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27569580078125 × 2 - 1) × π
    -0.4486083984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40934485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80206298828125 × 2 - 1) × π
    -0.6041259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.89791772975726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40934485} λ = -1.40934485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89791772975726))-π/2
    2×atan(0.149880385986369)-π/2
    2×0.148772963636858-π/2
    0.297545927273716-1.57079632675     		φ = -1.27325040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40934485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.749512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27325040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.951874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18068 KachelY 52564 -1.40934485 -1.27325040 -80.749512 -72.951874
    Oben rechts KachelX + 1 18069 KachelY 52564 -1.40924898 -1.27325040 -80.744019 -72.951874
    Unten links KachelX 18068 KachelY + 1 52565 -1.40934485 -1.27327851 -80.749512 -72.953485
    Unten rechts KachelX + 1 18069 KachelY + 1 52565 -1.40924898 -1.27327851 -80.744019 -72.953485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27325040--1.27327851) × R
    2.81099999999146e-05 × 6371000     		dl = 179.088809999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27325040--1.27327851) × R
    2.81099999999146e-05 × 6371000     		dr = 179.088809999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40934485--1.40924898) × cos(-1.27325040) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293174853453641 × 6371000     		do = 179.067614961022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40934485--1.40924898) × cos(-1.27327851) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293147978523826 × 6371000     		du = 179.051200082572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27325040)-sin(-1.27327851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293174853453641-0.293147978523826)×R²
    abs(-1.40924898--1.40934485)×2.68749298145687e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68749298145687e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68749298145687e-05×40589641000000     		ar = 32067.5362142032m²