Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18068 / 22804
↖ ↑ ↗
← N 75.306098°
W130.374756°		 ← 77.47 m → N 75.306098°
W130.372009°		 →
↑
77.47 m
↓
↑
77.47 m
↓
N 75.305401°
W130.374756°		 ← 77.48 m →
6 002 m²		 N 75.305401°
W130.372009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137851715087891 y=0.173984527587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137851715087891 × 217)
    floor (0.137851715087891 × 131072)
    floor (18068.5)     		tx = 18068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173984527587891 × 217)
    floor (0.173984527587891 × 131072)
    floor (22804.5)     		ty = 22804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18068 / 22804 ti = "17/18068/22804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18068/22804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18068 ÷ 217
    18068 ÷ 131072     		x = 0.137847900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22804 ÷ 217
    22804 ÷ 131072     		y = 0.173980712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137847900390625 × 2 - 1) × π
    -0.72430419921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.27546875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173980712890625 × 2 - 1) × π
    0.65203857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.04843959456424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27546875} λ = -2.27546875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04843959456424))-π/2
    2×atan(7.75578948317484)-π/2
    2×1.44256784190854-π/2
    2.88513568381708-1.57079632675     		φ = 1.31433936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27546875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.374756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31433936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.306098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18068 KachelY 22804 -2.27546875 1.31433936 -130.374756 75.306098
    Oben rechts KachelX + 1 18069 KachelY 22804 -2.27542081 1.31433936 -130.372009 75.306098
    Unten links KachelX 18068 KachelY + 1 22805 -2.27546875 1.31432720 -130.374756 75.305401
    Unten rechts KachelX + 1 18069 KachelY + 1 22805 -2.27542081 1.31432720 -130.372009 75.305401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31433936-1.31432720) × R
    1.21600000000388e-05 × 6371000     		dl = 77.4713600002472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31433936-1.31432720) × R
    1.21600000000388e-05 × 6371000     		dr = 77.4713600002472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27546875--2.27542081) × cos(1.31433936) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.253654993698836 × 6371000     		do = 77.4727641551115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27546875--2.27542081) × cos(1.31432720) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.25366675598431 × 6371000     		du = 77.4763566598565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31433936)-sin(1.31432720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.253654993698836-0.25366675598431)×R²
    abs(-2.27542081--2.27546875)×1.17622854741706e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.17622854741706e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.17622854741706e-05×40589641000000     		ar = 6002.05956042651m²