Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18068 / 19317
↖ ↑ ↗
← S 30.647364°
E 18.500977°		 ← 1 050.95 m → S 30.647364°
E 18.511963°		 →
↑
1 050.96 m
↓
↑
1 050.96 m
↓
S 30.656816°
E 18.500977°		 ← 1 050.84 m →
1 104 449 m²		 S 30.656816°
E 18.511963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551406860351562 y=0.589523315429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551406860351562 × 215)
    floor (0.551406860351562 × 32768)
    floor (18068.5)     		tx = 18068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589523315429688 × 215)
    floor (0.589523315429688 × 32768)
    floor (19317.5)     		ty = 19317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18068 / 19317 ti = "15/18068/19317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18068/19317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18068 ÷ 215
    18068 ÷ 32768     		x = 0.5513916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19317 ÷ 215
    19317 ÷ 32768     		y = 0.589508056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5513916015625 × 2 - 1) × π
    0.102783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32290296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589508056640625 × 2 - 1) × π
    -0.17901611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.562395706342499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32290296} λ = 0.32290296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.562395706342499))-π/2
    2×atan(0.569842252564615)-π/2
    2×0.517949456722176-π/2
    1.03589891344435-1.57079632675     		φ = -0.53489741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32290296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.500977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53489741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.647364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18068 KachelY 19317 0.32290296 -0.53489741 18.500977 -30.647364
    Oben rechts KachelX + 1 18069 KachelY 19317 0.32309470 -0.53489741 18.511963 -30.647364
    Unten links KachelX 18068 KachelY + 1 19318 0.32290296 -0.53506237 18.500977 -30.656816
    Unten rechts KachelX + 1 18069 KachelY + 1 19318 0.32309470 -0.53506237 18.511963 -30.656816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53489741--0.53506237) × R
    0.000164959999999992 × 6371000     		dl = 1050.96015999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53489741--0.53506237) × R
    0.000164959999999992 × 6371000     		dr = 1050.96015999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32290296-0.32309470) × cos(-0.53489741) × R
    0.000191739999999996 × 0.860320929339861 × 6371000     		do = 1050.94700383162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32290296-0.32309470) × cos(-0.53506237) × R
    0.000191739999999996 × 0.860236828815917 × 6371000     		du = 1050.84426868867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53489741)-sin(-0.53506237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860320929339861-0.860236828815917)×R²
    abs(0.32309470-0.32290296)×8.41005239434756e-05×R²
    0.000191739999999996×8.41005239434756e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.41005239434756e-05×40589641000000     		ar = 1104449.44853186m²