Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18066 / 51669
↖ ↑ ↗
← S 71.449911°
W 80.760498°		 ← 194.33 m → S 71.449911°
W 80.755005°		 →
↑
194.32 m
↓
↑
194.32 m
↓
S 71.451658°
W 80.760498°		 ← 194.31 m →
37 760 m²		 S 71.451658°
W 80.755005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275672912597656 y=0.788414001464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275672912597656 × 216)
    floor (0.275672912597656 × 65536)
    floor (18066.5)     		tx = 18066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788414001464844 × 216)
    floor (0.788414001464844 × 65536)
    floor (51669.5)     		ty = 51669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18066 / 51669 ti = "16/18066/51669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18066/51669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18066 ÷ 216
    18066 ÷ 65536     		x = 0.275665283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51669 ÷ 216
    51669 ÷ 65536     		y = 0.788406372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275665283203125 × 2 - 1) × π
    -0.44866943359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40953660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788406372070312 × 2 - 1) × π
    -0.576812744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.81211067943736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40953660} λ = -1.40953660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81211067943736))-π/2
    2×atan(0.163309079661923)-π/2
    2×0.161880067967266-π/2
    0.323760135934533-1.57079632675     		φ = -1.24703619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40953660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.760498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24703619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.449911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18066 KachelY 51669 -1.40953660 -1.24703619 -80.760498 -71.449911
    Oben rechts KachelX + 1 18067 KachelY 51669 -1.40944072 -1.24703619 -80.755005 -71.449911
    Unten links KachelX 18066 KachelY + 1 51670 -1.40953660 -1.24706669 -80.760498 -71.451658
    Unten rechts KachelX + 1 18067 KachelY + 1 51670 -1.40944072 -1.24706669 -80.755005 -71.451658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24703619--1.24706669) × R
    3.05000000000444e-05 × 6371000     		dl = 194.315500000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24703619--1.24706669) × R
    3.05000000000444e-05 × 6371000     		dr = 194.315500000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40953660--1.40944072) × cos(-1.24703619) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.318133583460663 × 6371000     		do = 194.332370294522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40953660--1.40944072) × cos(-1.24706669) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.318104667912832 × 6371000     		du = 194.314707189335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24703619)-sin(-1.24706669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318133583460663-0.318104667912832)×R²
    abs(-1.40944072--1.40953660)×2.89155478300218e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.89155478300218e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.89155478300218e-05×40589641000000     		ar = 37760.0755954152m²