Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18065 / 51667
↖ ↑ ↗
← S 71.446415°
W 80.765991°		 ← 194.35 m → S 71.446415°
W 80.760498°		 →
↑
194.38 m
↓
↑
194.38 m
↓
S 71.448163°
W 80.765991°		 ← 194.33 m →
37 775 m²		 S 71.448163°
W 80.760498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275657653808594 y=0.788383483886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275657653808594 × 216)
    floor (0.275657653808594 × 65536)
    floor (18065.5)     		tx = 18065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788383483886719 × 216)
    floor (0.788383483886719 × 65536)
    floor (51667.5)     		ty = 51667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18065 / 51667 ti = "16/18065/51667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18065/51667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18065 ÷ 216
    18065 ÷ 65536     		x = 0.275650024414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51667 ÷ 216
    51667 ÷ 65536     		y = 0.788375854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275650024414062 × 2 - 1) × π
    -0.448699951171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40963247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788375854492188 × 2 - 1) × π
    -0.576751708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.81191893183888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40963247} λ = -1.40963247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81191893183888))-π/2
    2×atan(0.163340396788154)-π/2
    2×0.16191057141494-π/2
    0.32382114282988-1.57079632675     		φ = -1.24697518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40963247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.765991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24697518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.446415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18065 KachelY 51667 -1.40963247 -1.24697518 -80.765991 -71.446415
    Oben rechts KachelX + 1 18066 KachelY 51667 -1.40953660 -1.24697518 -80.760498 -71.446415
    Unten links KachelX 18065 KachelY + 1 51668 -1.40963247 -1.24700569 -80.765991 -71.448163
    Unten rechts KachelX + 1 18066 KachelY + 1 51668 -1.40953660 -1.24700569 -80.760498 -71.448163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24697518--1.24700569) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dl = 194.379209999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24697518--1.24700569) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dr = 194.379209999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40963247--1.40953660) × cos(-1.24697518) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.318191423148729 × 6371000     		do = 194.347429778134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40963247--1.40953660) × cos(-1.24700569) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.318162498712549 × 6371000     		du = 194.329763086261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24697518)-sin(-1.24700569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318191423148729-0.318162498712549)×R²
    abs(-1.40953660--1.40963247)×2.89244361804664e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.89244361804664e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.89244361804664e-05×40589641000000     		ar = 37775.382849745m²