Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18065 / 51666
↖ ↑ ↗
← S 71.444667°
W 80.765991°		 ← 194.37 m → S 71.444667°
W 80.760498°		 →
↑
194.32 m
↓
↑
194.32 m
↓
S 71.446415°
W 80.765991°		 ← 194.35 m →
37 766 m²		 S 71.446415°
W 80.760498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275657653808594 y=0.788368225097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275657653808594 × 216)
    floor (0.275657653808594 × 65536)
    floor (18065.5)     		tx = 18065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788368225097656 × 216)
    floor (0.788368225097656 × 65536)
    floor (51666.5)     		ty = 51666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18065 / 51666 ti = "16/18065/51666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18065/51666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18065 ÷ 216
    18065 ÷ 65536     		x = 0.275650024414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51666 ÷ 216
    51666 ÷ 65536     		y = 0.788360595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275650024414062 × 2 - 1) × π
    -0.448699951171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40963247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788360595703125 × 2 - 1) × π
    -0.57672119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.81182305803964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40963247} λ = -1.40963247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81182305803964))-π/2
    2×atan(0.163356057603282)-π/2
    2×0.161925825218275-π/2
    0.323851650436549-1.57079632675     		φ = -1.24694468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40963247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.765991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24694468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.444667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18065 KachelY 51666 -1.40963247 -1.24694468 -80.765991 -71.444667
    Oben rechts KachelX + 1 18066 KachelY 51666 -1.40953660 -1.24694468 -80.760498 -71.444667
    Unten links KachelX 18065 KachelY + 1 51667 -1.40963247 -1.24697518 -80.765991 -71.446415
    Unten rechts KachelX + 1 18066 KachelY + 1 51667 -1.40953660 -1.24697518 -80.760498 -71.446415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24694468--1.24697518) × R
    3.05000000000444e-05 × 6371000     		dl = 194.315500000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24694468--1.24697518) × R
    3.05000000000444e-05 × 6371000     		dr = 194.315500000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40963247--1.40953660) × cos(-1.24694468) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.31822033780855 × 6371000     		do = 194.365090498727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40963247--1.40953660) × cos(-1.24697518) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.318191423148729 × 6371000     		du = 194.347429778134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24694468)-sin(-1.24697518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31822033780855-0.318191423148729)×R²
    abs(-1.40953660--1.40963247)×2.89146598209666e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.89146598209666e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.89146598209666e-05×40589641000000     		ar = 37766.4338700429m²