Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18065 / 23662
↖ ↑ ↗
← S 62.175760°
E 18.468017°		 ← 570.21 m → S 62.175760°
E 18.479004°		 →
↑
570.14 m
↓
↑
570.14 m
↓
S 62.180887°
E 18.468017°		 ← 570.12 m →
325 074 m²		 S 62.180887°
E 18.479004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551315307617188 y=0.722122192382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551315307617188 × 215)
    floor (0.551315307617188 × 32768)
    floor (18065.5)     		tx = 18065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722122192382812 × 215)
    floor (0.722122192382812 × 32768)
    floor (23662.5)     		ty = 23662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18065 / 23662 ti = "15/18065/23662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18065/23662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18065 ÷ 215
    18065 ÷ 32768     		x = 0.551300048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23662 ÷ 215
    23662 ÷ 32768     		y = 0.72210693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551300048828125 × 2 - 1) × π
    0.10260009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32232771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72210693359375 × 2 - 1) × π
    -0.4442138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39553902173907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32232771} λ = 0.32232771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39553902173907))-π/2
    2×atan(0.247699484969753)-π/2
    2×0.242812303251806-π/2
    0.485624606503613-1.57079632675     		φ = -1.08517172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32232771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.468017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08517172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.175760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18065 KachelY 23662 0.32232771 -1.08517172 18.468017 -62.175760
    Oben rechts KachelX + 1 18066 KachelY 23662 0.32251946 -1.08517172 18.479004 -62.175760
    Unten links KachelX 18065 KachelY + 1 23663 0.32232771 -1.08526121 18.468017 -62.180887
    Unten rechts KachelX + 1 18066 KachelY + 1 23663 0.32251946 -1.08526121 18.479004 -62.180887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08517172--1.08526121) × R
    8.94900000001364e-05 × 6371000     		dl = 570.140790000869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08517172--1.08526121) × R
    8.94900000001364e-05 × 6371000     		dr = 570.140790000869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32232771-0.32251946) × cos(-1.08517172) × R
    0.000191749999999991 × 0.46676084245545 × 6371000     		do = 570.213365506616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32232771-0.32251946) × cos(-1.08526121) × R
    0.000191749999999991 × 0.466681697099995 × 6371000     		du = 570.116678433937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08517172)-sin(-1.08526121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46676084245545-0.466681697099995)×R²
    abs(0.32251946-0.32232771)×7.91453554549459e-05×R²
    0.000191749999999991×7.91453554549459e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.91453554549459e-05×40589641000000     		ar = 325074.336273526m²