Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18065 / 19325
↖ ↑ ↗
← S 30.722949°
E 18.468017°		 ← 1 050.18 m → S 30.722949°
E 18.479004°		 →
↑
1 050.13 m
↓
↑
1 050.13 m
↓
S 30.732393°
E 18.468017°		 ← 1 050.08 m →
1 102 773 m²		 S 30.732393°
E 18.479004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551315307617188 y=0.589767456054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551315307617188 × 215)
    floor (0.551315307617188 × 32768)
    floor (18065.5)     		tx = 18065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589767456054688 × 215)
    floor (0.589767456054688 × 32768)
    floor (19325.5)     		ty = 19325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18065 / 19325 ti = "15/18065/19325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18065/19325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18065 ÷ 215
    18065 ÷ 32768     		x = 0.551300048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19325 ÷ 215
    19325 ÷ 32768     		y = 0.589752197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551300048828125 × 2 - 1) × π
    0.10260009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32232771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589752197265625 × 2 - 1) × π
    -0.17950439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.563929687130341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32232771} λ = 0.32232771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.563929687130341))-π/2
    2×atan(0.568968795601458)-π/2
    2×0.517289856947375-π/2
    1.03457971389475-1.57079632675     		φ = -0.53621661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32232771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.468017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53621661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.722949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18065 KachelY 19325 0.32232771 -0.53621661 18.468017 -30.722949
    Oben rechts KachelX + 1 18066 KachelY 19325 0.32251946 -0.53621661 18.479004 -30.722949
    Unten links KachelX 18065 KachelY + 1 19326 0.32232771 -0.53638144 18.468017 -30.732393
    Unten rechts KachelX + 1 18066 KachelY + 1 19326 0.32251946 -0.53638144 18.479004 -30.732393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53621661--0.53638144) × R
    0.000164830000000005 × 6371000     		dl = 1050.13193000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53621661--0.53638144) × R
    0.000164830000000005 × 6371000     		dr = 1050.13193000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32232771-0.32251946) × cos(-0.53621661) × R
    0.000191749999999991 × 0.859647715061913 × 6371000     		do = 1050.1793898924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32232771-0.32251946) × cos(-0.53638144) × R
    0.000191749999999991 × 0.859563493835188 × 6371000     		du = 1050.07650193615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53621661)-sin(-0.53638144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859647715061913-0.859563493835188)×R²
    abs(0.32251946-0.32232771)×8.42212267255782e-05×R²
    0.000191749999999991×8.42212267255782e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.42212267255782e-05×40589641000000     		ar = 1102772.88908689m²