Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18064 / 19326
↖ ↑ ↗
← S 30.732393°
E 18.457032°		 ← 1 050.02 m → S 30.732393°
E 18.468017°		 →
↑
1 050 m
↓
↑
1 050 m
↓
S 30.741836°
E 18.457032°		 ← 1 049.92 m →
1 102 474 m²		 S 30.741836°
E 18.468017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551284790039062 y=0.589797973632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551284790039062 × 215)
    floor (0.551284790039062 × 32768)
    floor (18064.5)     		tx = 18064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589797973632812 × 215)
    floor (0.589797973632812 × 32768)
    floor (19326.5)     		ty = 19326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18064 / 19326 ti = "15/18064/19326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18064/19326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18064 ÷ 215
    18064 ÷ 32768     		x = 0.55126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19326 ÷ 215
    19326 ÷ 32768     		y = 0.58978271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55126953125 × 2 - 1) × π
    0.1025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32213597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58978271484375 × 2 - 1) × π
    -0.1795654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.564121434728821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32213597} λ = 0.32213597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564121434728821))-π/2
    2×atan(0.568859707660301)-π/2
    2×0.517207443292184-π/2
    1.03441488658437-1.57079632675     		φ = -0.53638144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32213597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.457032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53638144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.732393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18064 KachelY 19326 0.32213597 -0.53638144 18.457032 -30.732393
    Oben rechts KachelX + 1 18065 KachelY 19326 0.32232771 -0.53638144 18.468017 -30.732393
    Unten links KachelX 18064 KachelY + 1 19327 0.32213597 -0.53654625 18.457032 -30.741836
    Unten rechts KachelX + 1 18065 KachelY + 1 19327 0.32232771 -0.53654625 18.468017 -30.741836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53638144--0.53654625) × R
    0.000164810000000015 × 6371000     		dl = 1050.0045100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53638144--0.53654625) × R
    0.000164810000000015 × 6371000     		dr = 1050.0045100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32213597-0.32232771) × cos(-0.53638144) × R
    0.000191739999999996 × 0.859563493835188 × 6371000     		do = 1050.02173914598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32213597-0.32232771) × cos(-0.53654625) × R
    0.000191739999999996 × 0.859479259478455 × 6371000     		du = 1049.91884051617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53638144)-sin(-0.53654625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859563493835188-0.859479259478455)×R²
    abs(0.32232771-0.32213597)×8.42343567323267e-05×R²
    0.000191739999999996×8.42343567323267e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.42343567323267e-05×40589641000000     		ar = 1102473.54218416m²