Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18063 / 51660
↖ ↑ ↗
← S 71.434176°
W 80.776978°		 ← 194.49 m → S 71.434176°
W 80.771484°		 →
↑
194.51 m
↓
↑
194.51 m
↓
S 71.435925°
W 80.776978°		 ← 194.47 m →
37 828 m²		 S 71.435925°
W 80.771484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275627136230469 y=0.788276672363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275627136230469 × 216)
    floor (0.275627136230469 × 65536)
    floor (18063.5)     		tx = 18063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788276672363281 × 216)
    floor (0.788276672363281 × 65536)
    floor (51660.5)     		ty = 51660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18063 / 51660 ti = "16/18063/51660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18063/51660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18063 ÷ 216
    18063 ÷ 65536     		x = 0.275619506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51660 ÷ 216
    51660 ÷ 65536     		y = 0.78826904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275619506835938 × 2 - 1) × π
    -0.448760986328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40982422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78826904296875 × 2 - 1) × π
    -0.5765380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.8112478152442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40982422} λ = -1.40982422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8112478152442))-π/2
    2×atan(0.163450054031302)-π/2
    2×0.16201737715829-π/2
    0.32403475431658-1.57079632675     		φ = -1.24676157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40982422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.776978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24676157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.434176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18063 KachelY 51660 -1.40982422 -1.24676157 -80.776978 -71.434176
    Oben rechts KachelX + 1 18064 KachelY 51660 -1.40972834 -1.24676157 -80.771484 -71.434176
    Unten links KachelX 18063 KachelY + 1 51661 -1.40982422 -1.24679210 -80.776978 -71.435925
    Unten rechts KachelX + 1 18064 KachelY + 1 51661 -1.40972834 -1.24679210 -80.771484 -71.435925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24676157--1.24679210) × R
    3.05299999998621e-05 × 6371000     		dl = 194.506629999121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24676157--1.24679210) × R
    3.05299999998621e-05 × 6371000     		dr = 194.506629999121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40982422--1.40972834) × cos(-1.24676157) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.318393923825457 × 6371000     		do = 194.49139959166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40982422--1.40972834) × cos(-1.24679210) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.318364982504208 × 6371000     		du = 194.473720742742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24676157)-sin(-1.24679210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318393923825457-0.318364982504208)×R²
    abs(-1.40972834--1.40982422)×2.89413212487544e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.89413212487544e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.89413212487544e-05×40589641000000     		ar = 37828.147374501m²