Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18062 / 51646
↖ ↑ ↗
← S 71.409675°
W 80.782471°		 ← 194.72 m → S 71.409675°
W 80.776978°		 →
↑
194.70 m
↓
↑
194.70 m
↓
S 71.411426°
W 80.782471°		 ← 194.70 m →
37 910 m²		 S 71.411426°
W 80.776978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275611877441406 y=0.788063049316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275611877441406 × 216)
    floor (0.275611877441406 × 65536)
    floor (18062.5)     		tx = 18062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788063049316406 × 216)
    floor (0.788063049316406 × 65536)
    floor (51646.5)     		ty = 51646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18062 / 51646 ti = "16/18062/51646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18062/51646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18062 ÷ 216
    18062 ÷ 65536     		x = 0.275604248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51646 ÷ 216
    51646 ÷ 65536     		y = 0.788055419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275604248046875 × 2 - 1) × π
    -0.44879150390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40992009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788055419921875 × 2 - 1) × π
    -0.57611083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80990558205484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40992009} λ = -1.40992009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80990558205484))-π/2
    2×atan(0.163669589419509)-π/2
    2×0.162231192594669-π/2
    0.324462385189337-1.57079632675     		φ = -1.24633394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40992009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.782471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24633394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.409675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18062 KachelY 51646 -1.40992009 -1.24633394 -80.782471 -71.409675
    Oben rechts KachelX + 1 18063 KachelY 51646 -1.40982422 -1.24633394 -80.776978 -71.409675
    Unten links KachelX 18062 KachelY + 1 51647 -1.40992009 -1.24636450 -80.782471 -71.411426
    Unten rechts KachelX + 1 18063 KachelY + 1 51647 -1.40982422 -1.24636450 -80.776978 -71.411426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24633394--1.24636450) × R
    3.05600000001238e-05 × 6371000     		dl = 194.697760000789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24633394--1.24636450) × R
    3.05600000001238e-05 × 6371000     		dr = 194.697760000789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40992009--1.40982422) × cos(-1.24633394) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.318799270192614 × 6371000     		do = 194.71869531857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40992009--1.40982422) × cos(-1.24636450) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.318770304595669 × 6371000     		du = 194.701003486205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24633394)-sin(-1.24636450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318799270192614-0.318770304595669)×R²
    abs(-1.40982422--1.40992009)×2.8965596945707e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.8965596945707e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.8965596945707e-05×40589641000000     		ar = 37909.571531665m²