Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18062 / 23668
↖ ↑ ↗
← S 62.206512°
E 18.435059°		 ← 569.63 m → S 62.206512°
E 18.446045°		 →
↑
569.57 m
↓
↑
569.57 m
↓
S 62.211634°
E 18.435059°		 ← 569.54 m →
324 417 m²		 S 62.211634°
E 18.446045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551223754882812 y=0.722305297851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551223754882812 × 215)
    floor (0.551223754882812 × 32768)
    floor (18062.5)     		tx = 18062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722305297851562 × 215)
    floor (0.722305297851562 × 32768)
    floor (23668.5)     		ty = 23668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18062 / 23668 ti = "15/18062/23668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18062/23668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18062 ÷ 215
    18062 ÷ 32768     		x = 0.55120849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23668 ÷ 215
    23668 ÷ 32768     		y = 0.7222900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55120849609375 × 2 - 1) × π
    0.1024169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32175247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7222900390625 × 2 - 1) × π
    -0.444580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39668950732996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32175247} λ = 0.32175247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39668950732996))-π/2
    2×atan(0.247414674148214)-π/2
    2×0.242543939002547-π/2
    0.485087878005094-1.57079632675     		φ = -1.08570845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32175247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.435059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08570845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.206512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18062 KachelY 23668 0.32175247 -1.08570845 18.435059 -62.206512
    Oben rechts KachelX + 1 18063 KachelY 23668 0.32194422 -1.08570845 18.446045 -62.206512
    Unten links KachelX 18062 KachelY + 1 23669 0.32175247 -1.08579785 18.435059 -62.211634
    Unten rechts KachelX + 1 18063 KachelY + 1 23669 0.32194422 -1.08579785 18.446045 -62.211634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08570845--1.08579785) × R
    8.94000000000172e-05 × 6371000     		dl = 569.56740000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08570845--1.08579785) × R
    8.94000000000172e-05 × 6371000     		dr = 569.56740000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32175247-0.32194422) × cos(-1.08570845) × R
    0.000191749999999991 × 0.466286100047518 × 6371000     		do = 569.633401547447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32175247-0.32194422) × cos(-1.08579785) × R
    0.000191749999999991 × 0.466207011906735 × 6371000     		du = 569.536784370456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08570845)-sin(-1.08579785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466286100047518-0.466207011906735)×R²
    abs(0.32194422-0.32175247)×7.90881407834454e-05×R²
    0.000191749999999991×7.90881407834454e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.90881407834454e-05×40589641000000     		ar = 324417.100691298m²