Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18061 / 51659
↖ ↑ ↗
← S 71.432427°
W 80.787964°		 ← 194.51 m → S 71.432427°
W 80.782471°		 →
↑
194.44 m
↓
↑
194.44 m
↓
S 71.434176°
W 80.787964°		 ← 194.49 m →
37 819 m²		 S 71.434176°
W 80.782471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275596618652344 y=0.788261413574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275596618652344 × 216)
    floor (0.275596618652344 × 65536)
    floor (18061.5)     		tx = 18061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788261413574219 × 216)
    floor (0.788261413574219 × 65536)
    floor (51659.5)     		ty = 51659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18061 / 51659 ti = "16/18061/51659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18061/51659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18061 ÷ 216
    18061 ÷ 65536     		x = 0.275588989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51659 ÷ 216
    51659 ÷ 65536     		y = 0.788253784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275588989257812 × 2 - 1) × π
    -0.448822021484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41001597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788253784179688 × 2 - 1) × π
    -0.576507568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.81115194144496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41001597} λ = -1.41001597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81115194144496))-π/2
    2×atan(0.163465725360191)-π/2
    2×0.162032640669338-π/2
    0.324065281338676-1.57079632675     		φ = -1.24673105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41001597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.787964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24673105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.432427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18061 KachelY 51659 -1.41001597 -1.24673105 -80.787964 -71.432427
    Oben rechts KachelX + 1 18062 KachelY 51659 -1.40992009 -1.24673105 -80.782471 -71.432427
    Unten links KachelX 18061 KachelY + 1 51660 -1.41001597 -1.24676157 -80.787964 -71.434176
    Unten rechts KachelX + 1 18062 KachelY + 1 51660 -1.40992009 -1.24676157 -80.782471 -71.434176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24673105--1.24676157) × R
    3.05200000001449e-05 × 6371000     		dl = 194.442920000923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24673105--1.24676157) × R
    3.05200000001449e-05 × 6371000     		dr = 194.442920000923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41001597--1.40992009) × cos(-1.24673105) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.318422855370449 × 6371000     		do = 194.509072468737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41001597--1.40992009) × cos(-1.24676157) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.318393923825457 × 6371000     		du = 194.49139959166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24673105)-sin(-1.24676157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318422855370449-0.318393923825457)×R²
    abs(-1.40992009--1.41001597)×2.89315449923389e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.89315449923389e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.89315449923389e-05×40589641000000     		ar = 37819.1938375838m²