Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18061 / 19637
↖ ↑ ↗
← S 33.623768°
E 18.424072°		 ← 1 017.25 m → S 33.623768°
E 18.435059°		 →
↑
1 017.19 m
↓
↑
1 017.19 m
↓
S 33.632916°
E 18.424072°		 ← 1 017.14 m →
1 034 684 m²		 S 33.632916°
E 18.435059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551193237304688 y=0.599288940429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551193237304688 × 215)
    floor (0.551193237304688 × 32768)
    floor (18061.5)     		tx = 18061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599288940429688 × 215)
    floor (0.599288940429688 × 32768)
    floor (19637.5)     		ty = 19637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18061 / 19637 ti = "15/18061/19637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18061/19637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18061 ÷ 215
    18061 ÷ 32768     		x = 0.551177978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19637 ÷ 215
    19637 ÷ 32768     		y = 0.599273681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551177978515625 × 2 - 1) × π
    0.10235595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32156072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599273681640625 × 2 - 1) × π
    -0.19854736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.623754937856171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32156072} λ = 0.32156072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.623754937856171))-π/2
    2×atan(0.535928277308638)-π/2
    2×0.491975434131148-π/2
    0.983950868262297-1.57079632675     		φ = -0.58684546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32156072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.424072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58684546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.623768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18061 KachelY 19637 0.32156072 -0.58684546 18.424072 -33.623768
    Oben rechts KachelX + 1 18062 KachelY 19637 0.32175247 -0.58684546 18.435059 -33.623768
    Unten links KachelX 18061 KachelY + 1 19638 0.32156072 -0.58700512 18.424072 -33.632916
    Unten rechts KachelX + 1 18062 KachelY + 1 19638 0.32175247 -0.58700512 18.435059 -33.632916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58684546--0.58700512) × R
    0.000159660000000006 × 6371000     		dl = 1017.19386000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58684546--0.58700512) × R
    0.000159660000000006 × 6371000     		dr = 1017.19386000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32156072-0.32175247) × cos(-0.58684546) × R
    0.000191749999999991 × 0.832691604897714 × 6371000     		do = 1017.24874768849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32156072-0.32175247) × cos(-0.58700512) × R
    0.000191749999999991 × 0.832603184631725 × 6371000     		du = 1017.14073002106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58684546)-sin(-0.58700512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832691604897714-0.832603184631725)×R²
    abs(0.32175247-0.32156072)×8.84202659896527e-05×R²
    0.000191749999999991×8.84202659896527e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.84202659896527e-05×40589641000000     		ar = 1034684.24498557m²