Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18061 / 19324
↖ ↑ ↗
← S 30.713504°
E 18.424072°		 ← 1 050.28 m → S 30.713504°
E 18.435059°		 →
↑
1 050.20 m
↓
↑
1 050.20 m
↓
S 30.722949°
E 18.424072°		 ← 1 050.18 m →
1 102 948 m²		 S 30.722949°
E 18.435059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551193237304688 y=0.589736938476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551193237304688 × 215)
    floor (0.551193237304688 × 32768)
    floor (18061.5)     		tx = 18061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589736938476562 × 215)
    floor (0.589736938476562 × 32768)
    floor (19324.5)     		ty = 19324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18061 / 19324 ti = "15/18061/19324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18061/19324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18061 ÷ 215
    18061 ÷ 32768     		x = 0.551177978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19324 ÷ 215
    19324 ÷ 32768     		y = 0.5897216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551177978515625 × 2 - 1) × π
    0.10235595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32156072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5897216796875 × 2 - 1) × π
    -0.179443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.56373793953186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32156072} λ = 0.32156072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.56373793953186))-π/2
    2×atan(0.569077904461971)-π/2
    2×0.517372278676319-π/2
    1.03474455735264-1.57079632675     		φ = -0.53605177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32156072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.424072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53605177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.713504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18061 KachelY 19324 0.32156072 -0.53605177 18.424072 -30.713504
    Oben rechts KachelX + 1 18062 KachelY 19324 0.32175247 -0.53605177 18.435059 -30.713504
    Unten links KachelX 18061 KachelY + 1 19325 0.32156072 -0.53621661 18.424072 -30.722949
    Unten rechts KachelX + 1 18062 KachelY + 1 19325 0.32175247 -0.53621661 18.435059 -30.722949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53605177--0.53621661) × R
    0.000164839999999944 × 6371000     		dl = 1050.19563999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53605177--0.53621661) × R
    0.000164839999999944 × 6371000     		dr = 1050.19563999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32156072-0.32175247) × cos(-0.53605177) × R
    0.000191749999999991 × 0.859731918040387 × 6371000     		do = 1050.28225555587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32156072-0.32175247) × cos(-0.53621661) × R
    0.000191749999999991 × 0.859647715061913 × 6371000     		du = 1050.1793898924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53605177)-sin(-0.53621661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859731918040387-0.859647715061913)×R²
    abs(0.32175247-0.32156072)×8.42029784734466e-05×R²
    0.000191749999999991×8.42029784734466e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.42029784734466e-05×40589641000000     		ar = 1102947.83351537m²