Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18061 / 19322
↖ ↑ ↗
← S 30.694611°
E 18.424072°		 ← 1 050.49 m → S 30.694611°
E 18.435059°		 →
↑
1 050.45 m
↓
↑
1 050.45 m
↓
S 30.704058°
E 18.424072°		 ← 1 050.39 m →
1 103 432 m²		 S 30.704058°
E 18.435059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551193237304688 y=0.589675903320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551193237304688 × 215)
    floor (0.551193237304688 × 32768)
    floor (18061.5)     		tx = 18061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589675903320312 × 215)
    floor (0.589675903320312 × 32768)
    floor (19322.5)     		ty = 19322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18061 / 19322 ti = "15/18061/19322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18061/19322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18061 ÷ 215
    18061 ÷ 32768     		x = 0.551177978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19322 ÷ 215
    19322 ÷ 32768     		y = 0.58966064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551177978515625 × 2 - 1) × π
    0.10235595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32156072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58966064453125 × 2 - 1) × π
    -0.1793212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.5633544443349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32156072} λ = 0.32156072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.5633544443349))-π/2
    2×atan(0.569296184957114)-π/2
    2×0.51753714634967-π/2
    1.03507429269934-1.57079632675     		φ = -0.53572203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32156072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.424072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53572203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.694611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18061 KachelY 19322 0.32156072 -0.53572203 18.424072 -30.694611
    Oben rechts KachelX + 1 18062 KachelY 19322 0.32175247 -0.53572203 18.435059 -30.694611
    Unten links KachelX 18061 KachelY + 1 19323 0.32156072 -0.53588691 18.424072 -30.704058
    Unten rechts KachelX + 1 18062 KachelY + 1 19323 0.32175247 -0.53588691 18.435059 -30.704058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53572203--0.53588691) × R
    0.000164880000000034 × 6371000     		dl = 1050.45048000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53572203--0.53588691) × R
    0.000164880000000034 × 6371000     		dr = 1050.45048000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32156072-0.32175247) × cos(-0.53572203) × R
    0.000191749999999991 × 0.859900284540282 × 6371000     		do = 1050.48793868052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32156072-0.32175247) × cos(-0.53588691) × R
    0.000191749999999991 × 0.859816107870107 × 6371000     		du = 1050.38510515631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53572203)-sin(-0.53588691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859900284540282-0.859816107870107)×R²
    abs(0.32175247-0.32156072)×8.41766701749069e-05×R²
    0.000191749999999991×8.41766701749069e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.41766701749069e-05×40589641000000     		ar = 1103431.55115898m²