Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18058 / 9803
↖ ↑ ↗
← N 82.090086°
W130.402222°		 ← 42.03 m → N 82.090086°
W130.399475°		 →
↑
41.98 m
↓
↑
41.98 m
↓
N 82.089708°
W130.402222°		 ← 42.03 m →
1 765 m²		 N 82.089708°
W130.399475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137775421142578 y=0.0747947692871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137775421142578 × 217)
    floor (0.137775421142578 × 131072)
    floor (18058.5)     		tx = 18058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0747947692871094 × 217)
    floor (0.0747947692871094 × 131072)
    floor (9803.5)     		ty = 9803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18058 / 9803 ti = "17/18058/9803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18058/9803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18058 ÷ 217
    18058 ÷ 131072     		x = 0.137771606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9803 ÷ 217
    9803 ÷ 131072     		y = 0.0747909545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137771606445312 × 2 - 1) × π
    -0.724456787109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27594812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0747909545898438 × 2 - 1) × π
    0.850418090820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.67166722652459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27594812} λ = -2.27594812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.67166722652459))-π/2
    2×atan(14.4640639726021)-π/2
    2×1.50176930548641-π/2
    3.00353861097283-1.57079632675     		φ = 1.43274228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27594812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.402222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43274228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.090086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18058 KachelY 9803 -2.27594812 1.43274228 -130.402222 82.090086
    Oben rechts KachelX + 1 18059 KachelY 9803 -2.27590018 1.43274228 -130.399475 82.090086
    Unten links KachelX 18058 KachelY + 1 9804 -2.27594812 1.43273569 -130.402222 82.089708
    Unten rechts KachelX + 1 18059 KachelY + 1 9804 -2.27590018 1.43273569 -130.399475 82.089708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43274228-1.43273569) × R
    6.59000000013954e-06 × 6371000     		dl = 41.984890000889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43274228-1.43273569) × R
    6.59000000013954e-06 × 6371000     		dr = 41.984890000889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27594812--2.27590018) × cos(1.43274228) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.137615937662544 × 6371000     		do = 42.0314495963487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27594812--2.27590018) × cos(1.43273569) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.137622464960092 × 6371000     		du = 42.0334432010325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43274228)-sin(1.43273569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137615937662544-0.137622464960092)×R²
    abs(-2.27590018--2.27594812)×6.52729754802017e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.52729754802017e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.52729754802017e-06×40589641000000     		ar = 1764.72763853289m²