Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18058 / 9802
↖ ↑ ↗
← N 82.090464°
W130.402222°		 ← 42.03 m → N 82.090464°
W130.399475°		 →
↑
42.05 m
↓
↑
42.05 m
↓
N 82.090086°
W130.402222°		 ← 42.03 m →
1 767 m²		 N 82.090086°
W130.399475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137775421142578 y=0.0747871398925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137775421142578 × 217)
    floor (0.137775421142578 × 131072)
    floor (18058.5)     		tx = 18058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0747871398925781 × 217)
    floor (0.0747871398925781 × 131072)
    floor (9802.5)     		ty = 9802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18058 / 9802 ti = "17/18058/9802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18058/9802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18058 ÷ 217
    18058 ÷ 131072     		x = 0.137771606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9802 ÷ 217
    9802 ÷ 131072     		y = 0.0747833251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137771606445312 × 2 - 1) × π
    -0.724456787109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27594812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0747833251953125 × 2 - 1) × π
    0.850433349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.67171516342421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27594812} λ = -2.27594812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.67171516342421))-π/2
    2×atan(14.464757351604)-π/2
    2×1.5017726038487-π/2
    3.00354520769741-1.57079632675     		φ = 1.43274888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27594812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.402222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43274888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.090464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18058 KachelY 9802 -2.27594812 1.43274888 -130.402222 82.090464
    Oben rechts KachelX + 1 18059 KachelY 9802 -2.27590018 1.43274888 -130.399475 82.090464
    Unten links KachelX 18058 KachelY + 1 9803 -2.27594812 1.43274228 -130.402222 82.090086
    Unten rechts KachelX + 1 18059 KachelY + 1 9803 -2.27590018 1.43274228 -130.399475 82.090086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43274888-1.43274228) × R
    6.59999999985672e-06 × 6371000     		dl = 42.0485999990872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43274888-1.43274228) × R
    6.59999999985672e-06 × 6371000     		dr = 42.0485999990872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27594812--2.27590018) × cos(1.43274888) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.137609400454154 × 6371000     		do = 42.0294529646387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27594812--2.27590018) × cos(1.43274228) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.137615937662544 × 6371000     		du = 42.0314495963487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43274888)-sin(1.43274228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137609400454154-0.137615937662544)×R²
    abs(-2.27590018--2.27594812)×6.53720838983407e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.53720838983407e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.53720838983407e-06×40589641000000     		ar = 1767.32163366483m²