Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18058 / 51662
↖ ↑ ↗
← S 71.437674°
W 80.804444°		 ← 194.46 m → S 71.437674°
W 80.798950°		 →
↑
194.44 m
↓
↑
194.44 m
↓
S 71.439423°
W 80.804444°		 ← 194.44 m →
37 809 m²		 S 71.439423°
W 80.798950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275550842285156 y=0.788307189941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275550842285156 × 216)
    floor (0.275550842285156 × 65536)
    floor (18058.5)     		tx = 18058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788307189941406 × 216)
    floor (0.788307189941406 × 65536)
    floor (51662.5)     		ty = 51662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18058 / 51662 ti = "16/18058/51662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18058/51662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18058 ÷ 216
    18058 ÷ 65536     		x = 0.275543212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51662 ÷ 216
    51662 ÷ 65536     		y = 0.788299560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275543212890625 × 2 - 1) × π
    -0.44891357421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41030359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788299560546875 × 2 - 1) × π
    -0.57659912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.81143956284268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41030359} λ = -1.41030359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81143956284268))-π/2
    2×atan(0.163418715880574)-π/2
    2×0.161986854297538-π/2
    0.323973708595075-1.57079632675     		φ = -1.24682262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41030359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.804444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24682262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.437674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18058 KachelY 51662 -1.41030359 -1.24682262 -80.804444 -71.437674
    Oben rechts KachelX + 1 18059 KachelY 51662 -1.41020771 -1.24682262 -80.798950 -71.437674
    Unten links KachelX 18058 KachelY + 1 51663 -1.41030359 -1.24685314 -80.804444 -71.439423
    Unten rechts KachelX + 1 18059 KachelY + 1 51663 -1.41020771 -1.24685314 -80.798950 -71.439423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24682262--1.24685314) × R
    3.05199999999228e-05 × 6371000     		dl = 194.442919999508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24682262--1.24685314) × R
    3.05199999999228e-05 × 6371000     		dr = 194.442919999508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41030359--1.41020771) × cos(-1.24682262) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.318336050365997 × 6371000     		do = 194.456047503746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41030359--1.41020771) × cos(-1.24685314) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.318307117931265 × 6371000     		du = 194.43837408317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24682262)-sin(-1.24685314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318336050365997-0.318307117931265)×R²
    abs(-1.41020771--1.41030359)×2.89324347319542e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.89324347319542e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.89324347319542e-05×40589641000000     		ar = 37808.8834552094m²