Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18057 / 51645
↖ ↑ ↗
← S 71.407924°
W 80.809936°		 ← 194.74 m → S 71.407924°
W 80.804444°		 →
↑
194.70 m
↓
↑
194.70 m
↓
S 71.409675°
W 80.809936°		 ← 194.72 m →
37 913 m²		 S 71.409675°
W 80.804444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275535583496094 y=0.788047790527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275535583496094 × 216)
    floor (0.275535583496094 × 65536)
    floor (18057.5)     		tx = 18057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788047790527344 × 216)
    floor (0.788047790527344 × 65536)
    floor (51645.5)     		ty = 51645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18057 / 51645 ti = "16/18057/51645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18057/51645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18057 ÷ 216
    18057 ÷ 65536     		x = 0.275527954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51645 ÷ 216
    51645 ÷ 65536     		y = 0.788040161132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275527954101562 × 2 - 1) × π
    -0.448944091796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41039946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788040161132812 × 2 - 1) × π
    -0.576080322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.8098097082556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41039946} λ = -1.41039946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8098097082556))-π/2
    2×atan(0.163685281797098)-π/2
    2×0.162246475537588-π/2
    0.324492951075175-1.57079632675     		φ = -1.24630338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41039946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.809936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24630338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.407924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18057 KachelY 51645 -1.41039946 -1.24630338 -80.809936 -71.407924
    Oben rechts KachelX + 1 18058 KachelY 51645 -1.41030359 -1.24630338 -80.804444 -71.407924
    Unten links KachelX 18057 KachelY + 1 51646 -1.41039946 -1.24633394 -80.809936 -71.409675
    Unten rechts KachelX + 1 18058 KachelY + 1 51646 -1.41030359 -1.24633394 -80.804444 -71.409675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24630338--1.24633394) × R
    3.05599999999018e-05 × 6371000     		dl = 194.697759999374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24630338--1.24633394) × R
    3.05599999999018e-05 × 6371000     		dr = 194.697759999374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41039946--1.41030359) × cos(-1.24630338) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.318828235491829 × 6371000     		do = 194.736386969085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41039946--1.41030359) × cos(-1.24633394) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.318799270192614 × 6371000     		du = 194.71869531857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24630338)-sin(-1.24633394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318828235491829-0.318799270192614)×R²
    abs(-1.41030359--1.41039946)×2.89652992144784e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.89652992144784e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.89652992144784e-05×40589641000000     		ar = 37913.0160738753m²