Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18054 / 9827
↖ ↑ ↗
← N 82.081010°
W130.413208°		 ← 42.08 m → N 82.081010°
W130.410461°		 →
↑
42.11 m
↓
↑
42.11 m
↓
N 82.080631°
W130.413208°		 ← 42.08 m →
1 772 m²		 N 82.080631°
W130.410461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137744903564453 y=0.0749778747558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137744903564453 × 217)
    floor (0.137744903564453 × 131072)
    floor (18054.5)     		tx = 18054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0749778747558594 × 217)
    floor (0.0749778747558594 × 131072)
    floor (9827.5)     		ty = 9827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18054 / 9827 ti = "17/18054/9827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18054/9827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18054 ÷ 217
    18054 ÷ 131072     		x = 0.137741088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9827 ÷ 217
    9827 ÷ 131072     		y = 0.0749740600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137741088867188 × 2 - 1) × π
    -0.724517822265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27613987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0749740600585938 × 2 - 1) × π
    0.850051879882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.67051674093371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27613987} λ = -2.27613987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.67051674093371))-π/2
    2×atan(14.4474328441873)-π/2
    2×1.50169009779087-π/2
    3.00338019558174-1.57079632675     		φ = 1.43258387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27613987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.413208°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43258387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.081010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18054 KachelY 9827 -2.27613987 1.43258387 -130.413208 82.081010
    Oben rechts KachelX + 1 18055 KachelY 9827 -2.27609193 1.43258387 -130.410461 82.081010
    Unten links KachelX 18054 KachelY + 1 9828 -2.27613987 1.43257726 -130.413208 82.080631
    Unten rechts KachelX + 1 18055 KachelY + 1 9828 -2.27609193 1.43257726 -130.410461 82.080631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43258387-1.43257726) × R
    6.61000000001799e-06 × 6371000     		dl = 42.1123100001146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43258387-1.43257726) × R
    6.61000000001799e-06 × 6371000     		dr = 42.1123100001146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27613987--2.27609193) × cos(1.43258387) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.137772838769522 × 6371000     		do = 42.0793712330544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27613987--2.27609193) × cos(1.43257726) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.137779385732583 × 6371000     		du = 42.0813708440921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43258387)-sin(1.43257726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137772838769522-0.137779385732583)×R²
    abs(-2.27609193--2.27613987)×6.54696306115476e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.54696306115476e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.54696306115476e-06×40589641000000     		ar = 1772.10163012557m²