Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18054 / 9826
↖ ↑ ↗
← N 82.081388°
W130.413208°		 ← 42.08 m → N 82.081388°
W130.410461°		 →
↑
42.05 m
↓
↑
42.05 m
↓
N 82.081010°
W130.413208°		 ← 42.08 m →
1 769 m²		 N 82.081010°
W130.410461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137744903564453 y=0.0749702453613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137744903564453 × 217)
    floor (0.137744903564453 × 131072)
    floor (18054.5)     		tx = 18054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0749702453613281 × 217)
    floor (0.0749702453613281 × 131072)
    floor (9826.5)     		ty = 9826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18054 / 9826 ti = "17/18054/9826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18054/9826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18054 ÷ 217
    18054 ÷ 131072     		x = 0.137741088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9826 ÷ 217
    9826 ÷ 131072     		y = 0.0749664306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137741088867188 × 2 - 1) × π
    -0.724517822265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27613987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0749664306640625 × 2 - 1) × π
    0.850067138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.67056467783333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27613987} λ = -2.27613987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.67056467783333))-π/2
    2×atan(14.4481254259253)-π/2
    2×1.50169339991388-π/2
    3.00338679982775-1.57079632675     		φ = 1.43259047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27613987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.413208°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43259047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.081388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18054 KachelY 9826 -2.27613987 1.43259047 -130.413208 82.081388
    Oben rechts KachelX + 1 18055 KachelY 9826 -2.27609193 1.43259047 -130.410461 82.081388
    Unten links KachelX 18054 KachelY + 1 9827 -2.27613987 1.43258387 -130.413208 82.081010
    Unten rechts KachelX + 1 18055 KachelY + 1 9827 -2.27609193 1.43258387 -130.410461 82.081010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43259047-1.43258387) × R
    6.60000000007877e-06 × 6371000     		dl = 42.0486000005018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43259047-1.43258387) × R
    6.60000000007877e-06 × 6371000     		dr = 42.0486000005018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27613987--2.27609193) × cos(1.43259047) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.137766301705089 × 6371000     		do = 42.0773746453125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27613987--2.27609193) × cos(1.43258387) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.137772838769522 × 6371000     		du = 42.0793712330544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43259047)-sin(1.43258387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137766301705089-0.137772838769522)×R²
    abs(-2.27609193--2.27613987)×6.53706443318192e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.53706443318192e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.53706443318192e-06×40589641000000     		ar = 1769.3366722787m²