Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18054 / 51647
↖ ↑ ↗
← S 71.411426°
W 80.826416°		 ← 194.70 m → S 71.411426°
W 80.820923°		 →
↑
194.76 m
↓
↑
194.76 m
↓
S 71.413177°
W 80.826416°		 ← 194.68 m →
37 919 m²		 S 71.413177°
W 80.820923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275489807128906 y=0.788078308105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275489807128906 × 216)
    floor (0.275489807128906 × 65536)
    floor (18054.5)     		tx = 18054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788078308105469 × 216)
    floor (0.788078308105469 × 65536)
    floor (51647.5)     		ty = 51647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18054 / 51647 ti = "16/18054/51647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18054/51647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18054 ÷ 216
    18054 ÷ 65536     		x = 0.275482177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51647 ÷ 216
    51647 ÷ 65536     		y = 0.788070678710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275482177734375 × 2 - 1) × π
    -0.44903564453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41068708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788070678710938 × 2 - 1) × π
    -0.576141357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.81000145585408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41068708} λ = -1.41068708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81000145585408))-π/2
    2×atan(0.163653898546335)-π/2
    2×0.162215911040468-π/2
    0.324431822080936-1.57079632675     		φ = -1.24636450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41068708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.826416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24636450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.411426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18054 KachelY 51647 -1.41068708 -1.24636450 -80.826416 -71.411426
    Oben rechts KachelX + 1 18055 KachelY 51647 -1.41059121 -1.24636450 -80.820923 -71.411426
    Unten links KachelX 18054 KachelY + 1 51648 -1.41068708 -1.24639507 -80.826416 -71.413177
    Unten rechts KachelX + 1 18055 KachelY + 1 51648 -1.41059121 -1.24639507 -80.820923 -71.413177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24636450--1.24639507) × R
    3.0569999999841e-05 × 6371000     		dl = 194.761469998987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24636450--1.24639507) × R
    3.0569999999841e-05 × 6371000     		dr = 194.761469998987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41068708--1.41059121) × cos(-1.24636450) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.318770304595669 × 6371000     		do = 194.701003486205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41068708--1.41059121) × cos(-1.24639507) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.318741329222602 × 6371000     		du = 194.683305682705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24636450)-sin(-1.24639507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318770304595669-0.318741329222602)×R²
    abs(-1.41059121--1.41068708)×2.89753730667863e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.89753730667863e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.89753730667863e-05×40589641000000     		ar = 37918.5302271614m²