Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18053 / 18806
↖ ↑ ↗
← S 25.700938°
E 18.336182°		 ← 1 100.78 m → S 25.700938°
E 18.347168°		 →
↑
1 100.72 m
↓
↑
1 100.72 m
↓
S 25.710837°
E 18.336182°		 ← 1 100.69 m →
1 211 600 m²		 S 25.710837°
E 18.347168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550949096679688 y=0.573928833007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550949096679688 × 215)
    floor (0.550949096679688 × 32768)
    floor (18053.5)     		tx = 18053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573928833007812 × 215)
    floor (0.573928833007812 × 32768)
    floor (18806.5)     		ty = 18806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18053 / 18806 ti = "15/18053/18806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18053/18806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18053 ÷ 215
    18053 ÷ 32768     		x = 0.550933837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18806 ÷ 215
    18806 ÷ 32768     		y = 0.57391357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550933837890625 × 2 - 1) × π
    0.10186767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32002674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57391357421875 × 2 - 1) × π
    -0.1478271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.464412683519104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32002674} λ = 0.32002674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.464412683519104))-π/2
    2×atan(0.628504127645025)-π/2
    2×0.561115169962559-π/2
    1.12223033992512-1.57079632675     		φ = -0.44856599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32002674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.336182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44856599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.700938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18053 KachelY 18806 0.32002674 -0.44856599 18.336182 -25.700938
    Oben rechts KachelX + 1 18054 KachelY 18806 0.32021849 -0.44856599 18.347168 -25.700938
    Unten links KachelX 18053 KachelY + 1 18807 0.32002674 -0.44873876 18.336182 -25.710837
    Unten rechts KachelX + 1 18054 KachelY + 1 18807 0.32021849 -0.44873876 18.347168 -25.710837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44856599--0.44873876) × R
    0.000172769999999989 × 6371000     		dl = 1100.71766999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44856599--0.44873876) × R
    0.000172769999999989 × 6371000     		dr = 1100.71766999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32002674-0.32021849) × cos(-0.44856599) × R
    0.000191750000000046 × 0.901069921231817 × 6371000     		do = 1100.78238277146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32002674-0.32021849) × cos(-0.44873876) × R
    0.000191750000000046 × 0.900994981955109 × 6371000     		du = 1100.69083400967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44856599)-sin(-0.44873876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901069921231817-0.900994981955109)×R²
    abs(0.32021849-0.32002674)×7.49392767073198e-05×R²
    0.000191750000000046×7.49392767073198e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.49392767073198e-05×40589641000000     		ar = 1211600.23788516m²