Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18052 / 9836
↖ ↑ ↗
← N 82.077603°
W130.418701°		 ← 42.10 m → N 82.077603°
W130.415954°		 →
↑
42.11 m
↓
↑
42.11 m
↓
N 82.077225°
W130.418701°		 ← 42.10 m →
1 773 m²		 N 82.077225°
W130.415954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137729644775391 y=0.0750465393066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137729644775391 × 217)
    floor (0.137729644775391 × 131072)
    floor (18052.5)     		tx = 18052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0750465393066406 × 217)
    floor (0.0750465393066406 × 131072)
    floor (9836.5)     		ty = 9836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18052 / 9836 ti = "17/18052/9836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18052/9836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18052 ÷ 217
    18052 ÷ 131072     		x = 0.137725830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9836 ÷ 217
    9836 ÷ 131072     		y = 0.075042724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137725830078125 × 2 - 1) × π
    -0.72454833984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27623574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.075042724609375 × 2 - 1) × π
    0.84991455078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.67008530883713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27623574} λ = -2.27623574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.67008530883713))-π/2
    2×atan(14.4412011023285)-π/2
    2×1.50166037162748-π/2
    3.00332074325496-1.57079632675     		φ = 1.43252442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27623574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.418701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43252442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.077603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18052 KachelY 9836 -2.27623574 1.43252442 -130.418701 82.077603
    Oben rechts KachelX + 1 18053 KachelY 9836 -2.27618780 1.43252442 -130.415954 82.077603
    Unten links KachelX 18052 KachelY + 1 9837 -2.27623574 1.43251781 -130.418701 82.077225
    Unten rechts KachelX + 1 18053 KachelY + 1 9837 -2.27618780 1.43251781 -130.415954 82.077225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43252442-1.43251781) × R
    6.61000000001799e-06 × 6371000     		dl = 42.1123100001146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43252442-1.43251781) × R
    6.61000000001799e-06 × 6371000     		dr = 42.1123100001146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27623574--2.27618780) × cos(1.43252442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.137831721602107 × 6371000     		do = 42.0973555657698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27623574--2.27618780) × cos(1.43251781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.137838268511015 × 6371000     		du = 42.0993551602679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43252442)-sin(1.43251781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137831721602107-0.137838268511015)×R²
    abs(-2.27618780--2.27623574)×6.54690890847243e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.54690890847243e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.54690890847243e-06×40589641000000     		ar = 1772.85899153718m²