Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18051 / 19691
↖ ↑ ↗
← S 34.116353°
E 18.314209°		 ← 1 011.34 m → S 34.116353°
E 18.325195°		 →
↑
1 011.33 m
↓
↑
1 011.33 m
↓
S 34.125448°
E 18.314209°		 ← 1 011.23 m →
1 022 749 m²		 S 34.125448°
E 18.325195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550888061523438 y=0.600936889648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550888061523438 × 215)
    floor (0.550888061523438 × 32768)
    floor (18051.5)     		tx = 18051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600936889648438 × 215)
    floor (0.600936889648438 × 32768)
    floor (19691.5)     		ty = 19691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18051 / 19691 ti = "15/18051/19691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18051/19691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18051 ÷ 215
    18051 ÷ 32768     		x = 0.550872802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19691 ÷ 215
    19691 ÷ 32768     		y = 0.600921630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550872802734375 × 2 - 1) × π
    0.10174560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31964325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600921630859375 × 2 - 1) × π
    -0.20184326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.634109308174103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31964325} λ = 0.31964325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.634109308174103))-π/2
    2×atan(0.530407707795061)-π/2
    2×0.487676823718989-π/2
    0.975353647437977-1.57079632675     		φ = -0.59544268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31964325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.314209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59544268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.116353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18051 KachelY 19691 0.31964325 -0.59544268 18.314209 -34.116353
    Oben rechts KachelX + 1 18052 KachelY 19691 0.31983499 -0.59544268 18.325195 -34.116353
    Unten links KachelX 18051 KachelY + 1 19692 0.31964325 -0.59560142 18.314209 -34.125448
    Unten rechts KachelX + 1 18052 KachelY + 1 19692 0.31983499 -0.59560142 18.325195 -34.125448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59544268--0.59560142) × R
    0.000158740000000046 × 6371000     		dl = 1011.33254000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59544268--0.59560142) × R
    0.000158740000000046 × 6371000     		dr = 1011.33254000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31964325-0.31983499) × cos(-0.59544268) × R
    0.000191739999999996 × 0.827900291687952 × 6371000     		do = 1011.34274588485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31964325-0.31983499) × cos(-0.59560142) × R
    0.000191739999999996 × 0.827811247911639 × 6371000     		du = 1011.23397218571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59544268)-sin(-0.59560142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.827900291687952-0.827811247911639)×R²
    abs(0.31983499-0.31964325)×8.90437763139129e-05×R²
    0.000191739999999996×8.90437763139129e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.90437763139129e-05×40589641000000     		ar = 1022748.82696351m²