Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18050 / 19690
↖ ↑ ↗
← S 34.107256°
E 18.303223°		 ← 1 011.50 m → S 34.107256°
E 18.314209°		 →
↑
1 011.46 m
↓
↑
1 011.46 m
↓
S 34.116353°
E 18.303223°		 ← 1 011.40 m →
1 023 041 m²		 S 34.116353°
E 18.314209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550857543945312 y=0.600906372070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550857543945312 × 215)
    floor (0.550857543945312 × 32768)
    floor (18050.5)     		tx = 18050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600906372070312 × 215)
    floor (0.600906372070312 × 32768)
    floor (19690.5)     		ty = 19690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18050 / 19690 ti = "15/18050/19690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18050/19690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18050 ÷ 215
    18050 ÷ 32768     		x = 0.55084228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19690 ÷ 215
    19690 ÷ 32768     		y = 0.60089111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55084228515625 × 2 - 1) × π
    0.1016845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31945150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60089111328125 × 2 - 1) × π
    -0.2017822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.633917560575623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31945150} λ = 0.31945150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.633917560575623))-π/2
    2×atan(0.530509421950657)-π/2
    2×0.487756201933394-π/2
    0.975512403866787-1.57079632675     		φ = -0.59528392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31945150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.303223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59528392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.107256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18050 KachelY 19690 0.31945150 -0.59528392 18.303223 -34.107256
    Oben rechts KachelX + 1 18051 KachelY 19690 0.31964325 -0.59528392 18.314209 -34.107256
    Unten links KachelX 18050 KachelY + 1 19691 0.31945150 -0.59544268 18.303223 -34.116353
    Unten rechts KachelX + 1 18051 KachelY + 1 19691 0.31964325 -0.59544268 18.314209 -34.116353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59528392--0.59544268) × R
    0.000158760000000036 × 6371000     		dl = 1011.45996000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59528392--0.59544268) × R
    0.000158760000000036 × 6371000     		dr = 1011.45996000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31945150-0.31964325) × cos(-0.59528392) × R
    0.000191749999999991 × 0.827989325817391 × 6371000     		do = 1011.50425899951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31945150-0.31964325) × cos(-0.59544268) × R
    0.000191749999999991 × 0.827900291687952 × 6371000     		du = 1011.3954914124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59528392)-sin(-0.59544268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.827989325817391-0.827900291687952)×R²
    abs(0.31964325-0.31945150)×8.90341294388364e-05×R²
    0.000191749999999991×8.90341294388364e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.90341294388364e-05×40589641000000     		ar = 1023041.05246735m²