Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18049 / 22658
↖ ↑ ↗
← N 75.407470°
W130.426941°		 ← 76.93 m → N 75.407470°
W130.424195°		 →
↑
76.96 m
↓
↑
76.96 m
↓
N 75.406778°
W130.426941°		 ← 76.94 m →
5 921 m²		 N 75.406778°
W130.424195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137706756591797 y=0.172870635986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137706756591797 × 217)
    floor (0.137706756591797 × 131072)
    floor (18049.5)     		tx = 18049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172870635986328 × 217)
    floor (0.172870635986328 × 131072)
    floor (22658.5)     		ty = 22658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18049 / 22658 ti = "17/18049/22658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18049/22658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18049 ÷ 217
    18049 ÷ 131072     		x = 0.137702941894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22658 ÷ 217
    22658 ÷ 131072     		y = 0.172866821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137702941894531 × 2 - 1) × π
    -0.724594116210938 × 3.1415926535     		Λ = -2.27637955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172866821289062 × 2 - 1) × π
    0.654266357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.05543838190877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27637955} λ = -2.27637955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05543838190877))-π/2
    2×atan(7.81026099938754)-π/2
    2×1.44345248229674-π/2
    2.88690496459349-1.57079632675     		φ = 1.31610864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27637955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.426941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31610864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.407470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18049 KachelY 22658 -2.27637955 1.31610864 -130.426941 75.407470
    Oben rechts KachelX + 1 18050 KachelY 22658 -2.27633162 1.31610864 -130.424195 75.407470
    Unten links KachelX 18049 KachelY + 1 22659 -2.27637955 1.31609656 -130.426941 75.406778
    Unten rechts KachelX + 1 18050 KachelY + 1 22659 -2.27633162 1.31609656 -130.424195 75.406778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31610864-1.31609656) × R
    1.20799999998589e-05 × 6371000     		dl = 76.9616799991009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31610864-1.31609656) × R
    1.20799999998589e-05 × 6371000     		dr = 76.9616799991009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27637955--2.27633162) × cos(1.31610864) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.251943182312003 × 6371000     		do = 76.9338815955006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27637955--2.27633162) × cos(1.31609656) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.25195487261732 × 6371000     		du = 76.9374513708632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31610864)-sin(1.31609656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251943182312003-0.25195487261732)×R²
    abs(-2.27633162--2.27637955)×1.16903053160589e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.16903053160589e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.16903053160589e-05×40589641000000     		ar = 5921.0981443915m²