Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18048 / 23682
↖ ↑ ↗
← S 62.278145°
E 18.281250°		 ← 568.28 m → S 62.278145°
E 18.292236°		 →
↑
568.23 m
↓
↑
568.23 m
↓
S 62.283256°
E 18.281250°		 ← 568.19 m →
322 887 m²		 S 62.283256°
E 18.292236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550796508789062 y=0.722732543945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550796508789062 × 215)
    floor (0.550796508789062 × 32768)
    floor (18048.5)     		tx = 18048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722732543945312 × 215)
    floor (0.722732543945312 × 32768)
    floor (23682.5)     		ty = 23682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18048 / 23682 ti = "15/18048/23682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18048/23682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18048 ÷ 215
    18048 ÷ 32768     		x = 0.55078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23682 ÷ 215
    23682 ÷ 32768     		y = 0.72271728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55078125 × 2 - 1) × π
    0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72271728515625 × 2 - 1) × π
    -0.4454345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39937397370868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31906800} λ = 0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39937397370868))-π/2
    2×atan(0.246751388456254)-π/2
    2×0.241918817039312-π/2
    0.483837634078624-1.57079632675     		φ = -1.08695869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08695869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.278145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18048 KachelY 23682 0.31906800 -1.08695869 18.281250 -62.278145
    Oben rechts KachelX + 1 18049 KachelY 23682 0.31925975 -1.08695869 18.292236 -62.278145
    Unten links KachelX 18048 KachelY + 1 23683 0.31906800 -1.08704788 18.281250 -62.283256
    Unten rechts KachelX + 1 18049 KachelY + 1 23683 0.31925975 -1.08704788 18.292236 -62.283256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08695869--1.08704788) × R
    8.91900000001833e-05 × 6371000     		dl = 568.229490001168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08695869--1.08704788) × R
    8.91900000001833e-05 × 6371000     		dr = 568.229490001168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31906800-0.31925975) × cos(-1.08695869) × R
    0.000191749999999991 × 0.465179731126633 × 6371000     		do = 568.281817848714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31906800-0.31925975) × cos(-1.08704788) × R
    0.000191749999999991 × 0.465100776838754 × 6371000     		du = 568.185364191685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08695869)-sin(-1.08704788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465179731126633-0.465100776838754)×R²
    abs(0.31925975-0.31906800)×7.89542878792959e-05×R²
    0.000191749999999991×7.89542878792959e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.89542878792959e-05×40589641000000     		ar = 322887.083841127m²