Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18047 / 25986
↖ ↑ ↗
← S 71.972189°
E 18.270264°		 ← 378.05 m → S 71.972189°
E 18.281250°		 →
↑
377.99 m
↓
↑
377.99 m
↓
S 71.975588°
E 18.270264°		 ← 377.98 m →
142 887 m²		 S 71.975588°
E 18.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550765991210938 y=0.793045043945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550765991210938 × 215)
    floor (0.550765991210938 × 32768)
    floor (18047.5)     		tx = 18047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.793045043945312 × 215)
    floor (0.793045043945312 × 32768)
    floor (25986.5)     		ty = 25986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18047 / 25986 ti = "15/18047/25986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18047/25986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18047 ÷ 215
    18047 ÷ 32768     		x = 0.550750732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25986 ÷ 215
    25986 ÷ 32768     		y = 0.79302978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550750732421875 × 2 - 1) × π
    0.10150146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31887626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79302978515625 × 2 - 1) × π
    -0.5860595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.84116044060712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31887626} λ = 0.31887626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.84116044060712))-π/2
    2×atan(0.158633234808749)-π/2
    2×0.157322329395074-π/2
    0.314644658790149-1.57079632675     		φ = -1.25615167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31887626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.270264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25615167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.972189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18047 KachelY 25986 0.31887626 -1.25615167 18.270264 -71.972189
    Oben rechts KachelX + 1 18048 KachelY 25986 0.31906800 -1.25615167 18.281250 -71.972189
    Unten links KachelX 18047 KachelY + 1 25987 0.31887626 -1.25621100 18.270264 -71.975588
    Unten rechts KachelX + 1 18048 KachelY + 1 25987 0.31906800 -1.25621100 18.281250 -71.975588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25615167--1.25621100) × R
    5.93300000000241e-05 × 6371000     		dl = 377.991430000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25615167--1.25621100) × R
    5.93300000000241e-05 × 6371000     		dr = 377.991430000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31887626-0.31906800) × cos(-1.25615167) × R
    0.000191739999999996 × 0.309478592641953 × 6371000     		do = 378.051478925026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31887626-0.31906800) × cos(-1.25621100) × R
    0.000191739999999996 × 0.309422174819988 × 6371000     		du = 377.982560293692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25615167)-sin(-1.25621100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309478592641953-0.309422174819988)×R²
    abs(0.31906800-0.31887626)×5.64178219657485e-05×R²
    0.000191739999999996×5.64178219657485e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.64178219657485e-05×40589641000000     		ar = 142887.193848627m²