Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18046 / 19327
↖ ↑ ↗
← S 30.741836°
E 18.259277°		 ← 1 049.97 m → S 30.741836°
E 18.270264°		 →
↑
1 049.94 m
↓
↑
1 049.94 m
↓
S 30.751278°
E 18.259277°		 ← 1 049.87 m →
1 102 356 m²		 S 30.751278°
E 18.270264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550735473632812 y=0.589828491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550735473632812 × 215)
    floor (0.550735473632812 × 32768)
    floor (18046.5)     		tx = 18046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589828491210938 × 215)
    floor (0.589828491210938 × 32768)
    floor (19327.5)     		ty = 19327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18046 / 19327 ti = "15/18046/19327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18046/19327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18046 ÷ 215
    18046 ÷ 32768     		x = 0.55072021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19327 ÷ 215
    19327 ÷ 32768     		y = 0.589813232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55072021484375 × 2 - 1) × π
    0.1014404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31868451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589813232421875 × 2 - 1) × π
    -0.17962646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.564313182327301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31868451} λ = 0.31868451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564313182327301))-π/2
    2×atan(0.568750640634489)-π/2
    2×0.517125037712194-π/2
    1.03425007542439-1.57079632675     		φ = -0.53654625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31868451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.259277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53654625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.741836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18046 KachelY 19327 0.31868451 -0.53654625 18.259277 -30.741836
    Oben rechts KachelX + 1 18047 KachelY 19327 0.31887626 -0.53654625 18.270264 -30.741836
    Unten links KachelX 18046 KachelY + 1 19328 0.31868451 -0.53671105 18.259277 -30.751278
    Unten rechts KachelX + 1 18047 KachelY + 1 19328 0.31887626 -0.53671105 18.270264 -30.751278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53654625--0.53671105) × R
    0.000164799999999965 × 6371000     		dl = 1049.94079999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53654625--0.53671105) × R
    0.000164799999999965 × 6371000     		dr = 1049.94079999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31868451-0.31887626) × cos(-0.53654625) × R
    0.000191750000000046 × 0.859479259478455 × 6371000     		do = 1049.97359794007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31868451-0.31887626) × cos(-0.53671105) × R
    0.000191750000000046 × 0.859395006889381 × 6371000     		du = 1049.87067167034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53654625)-sin(-0.53671105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859479259478455-0.859395006889381)×R²
    abs(0.31887626-0.31868451)×8.42525890741852e-05×R²
    0.000191750000000046×8.42525890741852e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.42525890741852e-05×40589641000000     		ar = 1102356.08864955m²